概率论与数理统计课后习题答案（非常全很详细）

概率论与数理统计 复旦大学

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习题 一

1.见教材习题参考答案.

2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C

（1） A发生，B，C都不发生； （2） A与B发生，C （3） A，B，C都发生； （4） A，B，C （5） A，B，C都不发生； （6） A，B，C

（7） A，B，C至多有2个发生； （8） A，B，C至少有2个发生. 【解】（1） ABC （2） ABC （3） ABC

（4） A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC (5) ABC=ABC (6) ABC

(7) ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC 3.

.

4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A?B)=0.3，求P（AB）. 【解】 P（AB）=1?P（AB）=1?[P(A)?P(A?B)] =1?[0.7?0.3]=0.6

5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7, （1） 在什么条件下P（AB （2） 在什么条件下P（AB

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1

【解】（1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.

（2） 当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.

6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，

P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.

【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)+P(ABC)

=

7.

11113++?= 44312452张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？

5332【解】 p=C13C13C13C13/C1352

8.

小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P（A1）=

115

=（）（亦可用独立性求解，下同） 577（2） 设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故

6565

P（A2）=5=()

77(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}

P（A3）=1?P(A1)=1?(

15

) 79..见教材习题参考答案.

10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n

n?mn【解】（1） P（A）=CmMCN?M/CN

n(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有PN种，n次抽取中有m

次为正品的组合数为Cmn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正

mn?m品中取m件的排列数有PM种，从N?M件次品中取n?m件的排列数为PN?M种，

故

mn?mCmnPMPN?MP（A）= nPN由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成

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n?mCmMCN?MP（A）= nCN可以看出，用第二种方法简便得多.

（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为Nn种，n

次抽取中有m次为正品的组合数为Cm对于固定的一种正、次品的抽取次序，n种，m次取得正品，都有M种取法，共有Mm种取法，n?m次取得次品，每次都有N?M种取法，共有（N?M）n?m种取法，故

mn?mn P(A)?CmM(N?M)/Nn此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为m件正品的概率为

M，则取得N?M??M?P(A)?Cmn???1??N??N??mn?m

11..见教材习题参考答案.

12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆

钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A={发生一个部件强度太弱}

33P(A)?C110C3/C50?1 1960【解】 设Ai={甲进i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,则

P(3i?0212AiBi3)?(0.3)3(0.4)3?C130.7?(0.3)C30.6?(0.4)?

22 C3(0.7)2?0.3C3(0.6)20.4+(0.7)3(0.6)3

17

=0.32076

5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.

41111C5C2CC2C2213【解】 p?1? ?4C102118.

0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：

（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A={下雨}，B={下雪}.

（1） p(BA)?P(AB)0.1??0.2 P(A)0.5（2） p(A19.

B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.3?0.5?0.1?0.7

3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男

为女是等可能的）.

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【解】 设A={其中一个为女孩}，B={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故

P(BA)?P(AB)6/86??

P(A)7/876 7或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.

P(BA)?20.

5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.

【解】 设A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式

P(AB)? ?21.

P(A)P(BA)P(AB) ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.5?0.0520?

0.5?0.0?5?0.50.0025219∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.

题21图 题22图

【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x?y|>30.

如图阴影部分所示.

3021P?2?

60422.

0，1）中随机地取两个数，求：

6的概率； 51（2） 两个数之积小于的概率.

4（1） 两个数之和小于【解】 设两数为x,y，则0

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