数学压轴题（中考） - 图文

2010年中考数学压轴题100题精选

【001】如图，已知抛物线y?a(x?1)2?33（a≠0）经过点A(?2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．

（1）求该抛物线的解析式；

y??322383 x?x?333（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t(s)．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC?OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t(s)，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．

解：（2）?D为抛物线的顶点?D(13，3)过D作DN?OB于N，则DN?33，

M y D AN?3，?AD?32?(33)2?6??DAO?60° C ?OM∥AD

①当AD?OP时，四边形DAOP是平行四边形 ?OP?6?t?6(s)

A O P Q B x ②当DP?OM时，四边形DAOP是直角梯形

过O作OH?AD于H，AO?2，则AH?1

（如果没求出?DAO?60°可由Rt△OHA∽Rt△DNA求AH?1） y D M C ?OP?DH?5t?5(s)

③当PD?OA时，四边形DAOP是等腰梯形

A H P B x ?OP?AD?2AH?6?2?4?t?4(s)

O E N Q 综上所述：当t?6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．

，OC?OB，△OCB是等边三角形 （3）由（2）及已知，?COB?60°?OQ?6?2t(0?t?3) 则OB?OC?AD?6，OP?t，BQ?2t，过P作PE?OQ于E，则PE?3t 22?SBCPQ当t?1133?3?63??6?33??(6?2t)?t=t???3 ?2222?2?83633 时，SBCPQ的面积最小值为2833?此时OQ?3，OP=，OE?242?QE?3?39?44PE?33 42??33933?? ?PQ?PE2?QE2???????4??2???4?【002】如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）． （1）当t = 2时，AP = 1 ，点Q到AC的距离是 8\\5 ； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）

（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成 为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由； （4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值． ．．

解：（2）作QF⊥AC于点F，如图3， AQ = CP= t，∴AP?3?t． A 由△AQF∽△ABC，BC?52?32?4， 得

QFt414?．∴QF?t． ∴S?(3?t)?t， 45255Q D P C E B 图16

B 26即S??t2?t．

55E Q A D P C （3）能．

①当DE∥QB时，如图4．

∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形． 此时∠AQP=90°． 由△APQ ∽△ABC，得

AQAP， ?ACAB图4

t3?t9即?． 解得t?． 358②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形． 此时∠APQ =90°．

B Q 由△AQP ∽△ABC，得

AQAP， ?ABACD A P E C t3?t15即?． 解得t?． 538图5

B

（4）t?545或t?． 214Q 【注：①点P由C向A运动，DE经过点C．

方法一、连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6． 34PC?t，QC2?QG2?CG2?[(5?t)]2?[4?(5?t)]2．

55534由PC?QC，得t2?[(5?t)]2?[4?(5?t)]2，解得t?．

25522G D A P C(E) B G 图6 Q 方法二、由CQ?CP?AQ，得?QAC??QCA，进而可得

?B??BCQ，得CQ?BQ，∴AQ?BQ?55．∴t?． 22A P ②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．

34(6?t)2?[(5?t)]2?[4?(5?t)]2，t?45】

5514D C(E) 图7 【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D

（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.

(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； （4，8）; y=－

12

x+4x. 2 (2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD 向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E，①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?

②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?

请直接写出相应的t值。

解：（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE=即

PEBC=,APABPE4= AP8∴PE=

11AP=t．PB=8-t． 221∴点Ｅ的坐标为（4+t，8-t）.

21111∴点G的纵坐标为：－（4+t）2+4(4+t）=－t2+8.

222811∴EG=－t2+8-(8-t) =－t2+t.

881∵-＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2.

8②共有三个时刻.t1=

164085， t2=，t3= ． 3132?5【004】如图，已知直线l1:y?28x?与直线l2:y??2x?16相交于点C，l1、l2分别交x33轴于A、B两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合．

（1）求△ABC的面积；

（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；

（3）若矩形DEFG从原点出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移， 设移动时间为t(0≤t≤12)秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关

t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．

（1）解：由

28?A点坐标为??4，．x??0，得x??4．0?

33y?B点坐标为?8，．由?2x?16?0，得x?8． 0?∴AB?8???4??12．l2 E C D l128??x?5，?y?x?，由?∴C点的坐标为?5，．6? 33解得??y?6．??y??2x?16．∴S△ABC?A O B F （G） x （第26题）

11AB·yC??12?6?36． 2228?yD??8??8．（2）解：∵点D在l1上且xD?xB?8， ∴D点坐标为?8，．8?

33又∵点E在l2上且yE?yD?8，∴E点坐标为?4，．??2xE?16?8．?xE?4．8?

∴OE?8?4?4，EF?8．

①当0≤t?3时，（3）解法一：如图1，矩形DEFG与△ABC重叠部分为五边形CHFGR（t?0时，为四边形CHFG）．过C作CM?AB于M，则Rt△RGB∽Rt△CMB．

yyy

l2 l2 l2 l1 l1l1E E E D D D C C C R R R

A F O G M B x A O F M G B x F A G O M B x （图2） （图1） （图3）

BGRGtRG?Rt△AFH∽Rt△AMC，?，，即?∴RG?2t．

BMCM36112∴S?S△ABC?S△BRG?S△AFH?36??t?2t??8?t???8?t?．

223421644．即S??t?t?

333【005】如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB?4，BC?6，∠B?60?.

∴