[数学]3.4《基本不等式》教案(新人教A版必修5)（3课时）

知识改变命运，学习成就未来

课题: §3.4基本不等式ab?第1课时

授课类型：新授课 【教学目标】

1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；

3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【教学重点】

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab?【教学难点】 基本不等式ab?【教学过程】

a?b2a?b2a?b2

的证明过程；

等号成立条件

1.课题导入 基本不等式ab?a?b2的几何背景：

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系

2.讲授新课 1．探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为

a?b。这样，4个直角三角形的面积的

22和是2ab，正方形的面积为a2?b2。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a?b?2ab。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有

a?b?2ab。

22222．得到结论：一般的，如果a,b?R,那么a?b?2ab(当且仅当a?b时取\?\号) 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 a?b?2ab?(a?b)

当

a?b时,(a?b)?0,当a?b时,(a?b)?0,

2222222所以，(a?b)?0，即(a?b)?2ab.

222欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com

第 1 页 共 8 页

知识改变命运，学习成就未来

4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式ab?a?b2

特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得a?b?2ab， 通常我们把上式写作：ab?a?b2(a>0,b>0)

a?b2 2）从不等式的性质推导基本不等式ab?用分析法证明：

要证

a?b2

?ab (1)

只要证 a+b? (2) 要证（2），只要证 a+b- ?0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2 （4） 显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。 3）理解基本不等式ab?a?b2的几何意义

探究：课本第110页的“探究”

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式ab?何解释吗？

易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB 即ＣD＝ab. 这个圆的半径为

a?b2a?b2的几

，显然，它大于或等于CD，即

a?b2?ab，其中当且仅当点C与

圆心重合，即a＝b时，等号成立. 因此：基本不等式ab?评述：1.如果把

a?b2a?b2几何意义是“半径不小于半弦”

看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，

那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

2.在数学中，我们称

a?b2为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.本

节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. [补充例题]

例1 已知x、y都是正数，求证：

(1)

yx?xy≥2；

(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.

欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com

第 2 页 共 8 页

知识改变命运，学习成就未来

分析：在运用定理：

a?b2?ab时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把

握好每条性质成立的条件)，进行变形.

解：∵x，y都是正数 ∴

xy＞0，

yx＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0

(1)

xy?yx?2xy?yx＝2即

xy?yx≥2.

(2)x＋y≥2＞0

xy＞0 x＋y≥2

22

xy22＞0 x3＋y3≥2

xy33∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2xy·2x2y2·2即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.

xy＝８xy

3333

3.随堂练习 1.已知a、b、c都是正数，求证

（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc

分析：对于此类题目，选择定理：果.

解：∵a，b，c都是正数 ∴a＋b≥2ab＞0

a?b2?ab（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结

b＋c≥2bc＞0 c＋a≥2ac＞0

∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2ab·2bc·2ac＝８abc 即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.

4.课时小结 本节课，我们学习了重要不等式a＋b≥2ab；两正数a、b的算术平均数（几何平均数（ab）及它们的关系（

a?b22

2

a?b2），

≥ab）.它们成立的条件不同，前者只要求a、

b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值

的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤

a?b222，ab≤（

a?b2）.

2

5.评价设计 课本第113页习题[A]组的第1题

欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com

第 3 页 共 8 页

知识改变命运，学习成就未来

【板书设计】

课题: §3.4基本不等式ab?第2课时

授课类型：新授课 【教学目标】

1．知识与技能：进一步掌握基本不等式能够解决一些简单的实际问题

2．过程与方法：通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式ab?理求某些函数的最大、最小值。

3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。 【教学重点】 基本不等式ab?【教学难点】 利用基本不等式ab?【教学过程】

a?b2a?b2a?b2ab?a?b2a?b2

；会应用此不等式求某些函数的最值；

，并会用此定

的应用

求最大值、最小值。

1.课题导入 1．重要不等式：

如果a,b?R,那么a2?b2?2ab(当且仅当a?b时取\?\号) 2．基本不等式：如果a,b是正数，那么??我们称

a?b2a?b2?ab(当且仅当a?b时取\?\号).

为a,b的算术平均数，称ab为a,b的几何平均数?

a2?b2?2ab和a?b2?ab成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者

要求a,b都是正数。

2.讲授新课 例1（1）用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？

（2）段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?

解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2（x+y） m。由

欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com

第 4 页 共 8 页