高考数学大一轮复习 5.1 平面向量的概念及线性运算试题(含解析)新人教A版

5.1 平面向量的概念及线性运算

一、选择题

1. 已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a?b|，则下面结论正确的是（ ） A.a∥b B. a⊥b C.{0,1,3} D.a+b=a?b

答案 B

2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )． A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析 若a＋b＝0，则a＝－b. ∴a∥b；

若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立． 答案 A

→→→

3．设P是△ABC所在平面内的一点，BC＋BA＝2BP，则( )． →→

A.PA＋PB＝0 →→

C.PB＋PC＝0

→→

B.PC＋PA＝0 →→→

D.PA＋PB＋PC＝0

→→→

解析 如图，根据向量加法的几何意义，BC＋BA＝2BP?P是AC的中点，

→→∴PA＋PC＝0.答案 B

4．已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为( ) A．－3 B．2 C．4 D．－6 解析 因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3,1)，a－2b＝(x－6,4)， ∴4(x＋3)－(x－6)＝0，x＝－6. 答案 D

→→→

5．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( )．

1

A．矩形 C．梯形

B．平行四边形 D．以上都不对

→→→→→

解析 由已知AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC. →→→→

∴AD∥BC，又AB与CD不平行， ∴四边形ABCD是梯形． 答案 C

→→→→→→

6．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0，若存在实数m，使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝( )． A．2

B．3

C．4

D．5

→→→

解析 ∵MA＋MB＋MC＝0，∴点M是△ABC的重心， →→→

∴AB＋AC＝3AM，∴m＝3. 答案 B

uuuruuuruuur7.已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA＋OB＋CO＝0，则△ABC的内角A等于( )

A．30° C．90°

B．60° D．120°

uuuruuuruuuruuuruuuruuur解析：由OA＋OB＋CO＝0得OA＋OB＝OC，由O为△ABC外接圆的圆心，结合向

量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°. 答案：A 二、填空题

uuuruuuruuuruuur|AB|

r＝________. 8.已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若OA－3OB＋2OC＝0，则uuu|BC|

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur解析：由OA－3OB＋2OC＝0，得OA－OB＝2(OB－OC)，

uuuruuuruuur|AB|

r＝2. 即BA＝2CB，于是uuu|BC|

答案：2

9．给出下列命题：

→→

①向量AB的长度与向量BA的长度相等；

②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；

→→

⑤向量AB与向量CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上．

2

其中不正确的个数为________． →→

解析 ①中，∵向量AB与BA为相反向量， ∴它们的长度相等，此命题正确．

②中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方向不一定相同或相反，∴此命题错误．

③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．

④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误．

→→

⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，∴该命题错误． 答案 3

rrrrrr?

10.已知向量a,b夹角为45，且a?1,2a?b?10；则b?_____.

解析 答案 32

→3→1→

11．若M为△ABC内一点，且满足AM＝AB＋AC，则△ABM与△ABC的面积之比为________．

44→→→→→→

解析 由题知B、M、C三点共线，设BM＝λBC，则：AM－AB＝λ(AC－AB)， →→→∴AM＝(1－λ)AB＋λAC，

1∴λ＝，

4S△ABM1∴＝. S△ABC41答案

4→→→→→

12．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状为________．

→→→→→→→→→

解析 (等价转化法)OB＋OC－2OA＝OB－OA＋OC－OA＝AB＋AC， →→→→→OB－OC＝CB＝AB－AC， →→→→∴|AB＋AC|＝|AB－AC|.

故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形． 答案 直角三角形

【点评】 本题采用的是等价转化法，将△ABC的三个顶点转化到相应矩形中，从而判断三角形形状.本题也可用两边平方展开得出结论. 三、解答题

3

→2→

13．如图所示，△ABC中，AD＝AB，DE∥BC交AC于E，AM是BC边上的中线，交DE于N.

3

→→→→→→→→设AB＝a，AC＝b，用a，b分别表示向量AE，BC，DE，DN，AM，AN. →2→→2→1

解析 AE＝b，BC＝b－a，DE＝(b－a)，DN＝(b－a)，

333→

AM＝(a＋b)，AN＝(a＋b)．

1

14．设a，b是两个不共线的非零向量，若a与b起点相同，t∈R，t为何值时，a，tb，(a3＋b)三向量的终点在一条直线上？

12

→

13

?1?解析 设a－tb＝λ?a－a＋b?(λ∈R)， ?3??2??1?化简整理得?λ－1?a＋?t－λ?b＝0，

?3??3?

∵a与b不共线，∴由平面向量基本定理有 2

??3λ－1＝0，?λ??t－3＝0，

3

λ＝，??2∴?1

t＝??2.

11

故t＝时，a，tb，(a＋b)的终点在一条直线上．

23

uuur2uuur15．如图所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，AE＝AD，

3

uuuruuurAB＝a，AC＝b.

uuuruuuruuuruuuruuur(1)用a，b表示向量AD、AE、AF、BE、BF；

(2)求证：B、E、F三点共线． 解析：(1)延长AD到G，

ruuur1uuu使AD＝AG，

2

连结BG、CG，得到?ABGC，

uuur所以AG＝a＋b，

r1uuur1uuuAD＝AG＝(a＋b)，

23

23

uuur2uuur1

AE＝AD＝(a＋b)，

4