2012年全国大学生数学建模竞赛A题(葡萄酒评价)

评酒员个体对各评价对象的评价结果可用一下矩阵表示： ?d1?A1?d1?A2??d2?A1?d2?A2??D?A?????dn?A1?dn?A1??d1?Am???d2?Am?? （2） ??dn?Am??? 式中：di?Aj?为专家评酒员Ei对酒样品Ai给出的多属性综合评价结果。按照多属性群决策理论的有关方法，得出评酒员群体的评价意见： D?A???D?A1?,D?A2?,,D?Am?? （3） 记评酒员个体对各酒样品的分值序为xi?Aj?，评酒员群体对各酒样品的分值序为从评酒员Ei与评酒员群体评价意见之间的“分值偏差”?0i和“排序偏差”?1iX?Aj?，两方面考察其可信性。记评酒员Ei与评酒员群体评价意见之间的“分值偏差”?0i为 1mdi?Aj??D?Aj? ?0i?? （4） mj?1D?Aj?评酒员Ei与评酒员群体评价意见之间的“排序偏差”?1i为 1mxi?Aj??X?Aj? ?1i?? （5） mj?1m?1取 p1i?1??1i p0i?1??0i 并定义评酒员的可信性测度为： pi??p1i??p0i （6） ??0，?+?=1。?表示对最终分值的关注度，综合考虑取值0.4； 式中：??0，?表示排序的关注度，取值0.6。 代入评价结果，得到可信性测度结果如下： 表格 1.4 两组评酒员可信性测度表

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排名 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 评酒员 16 17 20 19 11 12 1 18 13 4 15 14 10 7 6 8 2 9 3 5 P 0.85 0.84 0.84 0.84 0.84 0.84 0.83 0.83 0.83 0.83 0.82 0.82 0.81 0.81 0.8 0.8 0.8 0.8 0.79 0.78 其中，表格4中评酒员1120是来自第二组的评酒员。从上述表格中可以看出，第二组评酒员在可信测度排名前十位中占了8位，可信测度的总体水平远高于第一组，说明第二组的评价结果更可信。 二．问题二模型的建立与求解 酿酒葡萄的分级主要依据酿酒葡萄的理化指标和用其酿造的葡萄酒质量，为解决酿酒葡萄的分级问题，我们对其理化指标和酿造的酒的质量分别打分，叫做指标得分和质量得分，将两部分得分按照一定权重相加得到酿酒葡萄的综合得分，将该得分按照一定分数间隔进行分级，即可得到酿酒葡萄的分级。 （1）求解指标得分 先整体上对酿酒葡萄样品的各项指标进行因子分析，用SPSS软件实现分析过程，确定影响酿酒葡萄品质的主成份，根据主成份对酿酒葡萄品质的贡献率对其主成份进行排序。再逐样分析葡萄样品的理化指标，确定每个葡萄样品中含量最多的主成份在上述排序中的序列，并据此给出酿酒葡萄的指标得分。 因子分析的基本目的就是用少数几个因子去描述许多指标或因素之间的联系，即将相关比较密切的几个变量归在同一类中，每一类变量就成为一个因子，以较少的几个因子反映原资料的大部分信息。具体模型及求解如下： ?x1?a11F1?a12F2??x?aF?aF??2211222????xp?ap1F1?ap2F2? x1,x2, 其中，?a1mFm?a1?1?a2mFm?a2?2?apmFm?ap?pm小于p，,Fm为m个因子变量， （7） ,xp为p个原有变量，F1,F2,F3,表示成矩阵形式为： X?AF??? （8） 8

其中F为因子变量或公共因子，A为因子载荷矩阵，aij为因子载荷，是第i个原有变量在第j个因子变量上的负荷。 公共因子Fj的方差贡献定义为因子载荷矩阵A中第j列各元素的平方和，即： Sj??aij2 （9） i?1p 公共因子Fj的方差贡献反映了该因子对所有原始变量总方差的解释能力，其值越高说明因子重要程度越高。 主成份分析把p个原有变量x1,x2,y1,y2,,yp的方差之和，那么： ,xp的总方差分解为p个独立的变量 ?k??k/??k （10） k?1p 就称为第k个主成份yk的方差贡献率。第一主成份贡献率最大，这表明y1综合原始变量的能力最强，而y1,y2,个主成份?m?p?，那么： ?m???kk?1m,yp综合原始变量的能力依次减弱。如果只取其中m??k?1pk （11） ,ym 综合x1,x2,,xp的能是这m个主成份的累积贡献率，累积贡献率表明这y1,y2,力。通常取m使得累积贡献率达到一个较高的百分比。 将红葡萄样品和白葡萄样品各项理化指标数据分别带入上述模型，求解两次，即可得到红葡萄样品和白葡萄样品各自的指标得分。特别说明，在本模型求解中，将葡萄样品的所有的芳香物质归纳为芳香物质一类。用SPSS软件求解，红葡萄的理化指标因子分析后得到红葡萄样本的主成份，并根据其主成份的方差贡献率对主成份排序，具体结果如下表： 表格 2.1 红葡萄样品主成份及其排序 主成份

1 2 3 9

4 5 6 7

序列 主成份 主成份序列 主成份 再逐样分析葡萄样品的理化指标，确定每个葡萄样品中含量最多的主成份在上述排序中的序列，据此给出酿酒葡萄的指标得分，并将指标得分转换成百分制，各红葡萄样品的主成份排序及指标得分结果如表格6： 表格 2.2 红葡萄样品主成份序列及指标得分 花色苷 8 酪氨酸 缬氨酸 9 百粒质量 干物质含量 10 果皮质量 顺式白藜芦醇苷 11 多酚氧化酶活力 PH值 12 VC含量 多酚氧化酶活力 13 芳香物质 果梗比 红葡萄1 2 样品号 主成份4 7 排序 指标得26.6 46.6 分 红葡萄10 11 样品号 主成份10 5 排序 指标得66.6 33.3 分 红葡萄19 20 样品号 主成份12 2 排序 指标得80 13.3 分 （2）求解质量得分 3 3 20 12 3 20 21 9 60 4 12 80 13 6 40 22 2 13.3 5 9 60 14 13 6 3 20 15 13 7 13 86.6 16 11 8 6 40 17 11 9 1 6.6 18 3 20 27 11 86.6 86.6 73.3 73.3 23 1 6.6 24 12 80 25 12 80 26 7 46.6 73.3 问题一中已论证二组评酒员的评价结果可信，所以红葡萄酒的质量直接参考二组评酒员的评价结果，得到每种红葡萄样品酿制的红葡萄酒的质量如下： 表格 2.3 红葡萄样品酿制得红葡萄酒的质量

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