正方形与全等模型（含答案）

专题： 分析： 解答： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 几何综合题． （1）可通过证明三角形ABD和三角形ACF全等来实现．因为AD=AF，AB=AC，只要证明∠BAD=∠CAF即可，∠BAD=90°﹣∠DAC=∠FAC，这样就构成了全等三角形判定中的SAS，△ABD≌△ACF，因此BC=CF，∠B=∠ACF，因为∠B+∠ACB=90°，那么∠ACF+ACD=90°，即FC⊥BC，也就是FC⊥BD． （2）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，∠ACF=∠ABD．结合∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．即CF⊥BD． 解：（1）CF与BD的数量关系是：CF=BD； 位置关系是：CF⊥BD； 故答案为：相等、垂直． （2）当点D在BC的延长线上时（1）中的结论仍成立．（5分） 理由如下： 由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°． ∵∠BAC=90°， ∴∠DAF=∠BAC， ∴∠DAB=∠FAC， 又∵AB=AC， ∴△DAB≌△FAC，（4分） ∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．（6分） ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=45°， ∴∠ACF=45°， ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD． 本题中综合考查了正方形的性质，全等三角形的判定等知识，关键是证明三角形全等，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 点评： 13．已知点O为正方形ABCD的中心，M为射线OD上一动点（M与点O，D不重合），以线段AM为一边作正方形AMEF，连接FD．

（1）当点M在线段OD上时（如图1），线段BM与DF有怎样的数量及位置关系？请判断并直接写出结果； （2）当点M在线段OD的延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由．

考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 证明题；探究型． （1）根据正方形性质求出AF=AM，AD=AB，∠FAM=∠DAB=90°，推出∠FAD=∠MAB，证△FAD≌△MAB，推出BM=DF，∠FDA=∠ABD=4专题： 分析： 5°，求出∠ADB=45°即可； （2）根据正方形性质求出AF=AM，AD=AB，∠FAM=∠DAB=90°，推出∠FAD=∠MAB，证△FAD≌△MAB，推出BM=DF，∠FDA=∠ABD=45°，求出∠ADB=45°即可． 解：（1）BM=DF，BM⊥DF 理由是：∵四边形ABCD、解答： AMEF是正方形， ∴AF=AM，AD=AB，∠FAM=∠DAB=90°， ∴∠FAM﹣∠DAM=∠DAB﹣∠DAM， 即∠FAD=∠MAB， ∵在△FAD和△MAB中 ， ∴△FAD≌△MAB， ∴BM=DF，∠FDA=∠ABD=45°， ∵∠ADB=45°， ∴∠FDB=45°+45°=90°， ∴BM⊥DF， 即BM=DF，BM⊥DF． （2）解：成立， 理由是：∵四边形ABCD和AMEF均为正方形， ∴AB=AD，AM=AF，∠BAD=∠MAF=90°， ∴∠FAM+∠DAM=∠DAB+∠DAM， 即∠FAD=∠MAB， ∵在△FAD和△MAB中 ， ∴△FAD≌△MAB，