2020高考数学一轮复习第八章立体几何8-8立体几何中的向量方法(二)__求空间角和距离理

2019年

如图所示正方体ABCD－A′B′C′D′，已知点

H在A′B′C′D′的对角线B′D′上，∠HDA＝60°.求DH与CC′所成的角的大小． 解 如图所示，以D为原点，DA为单位长度，建立空间直角坐标系Dxyz， 则＝(1,0,0)，＝(0,0,1)． 设＝(m，m,1)(m>0)， 由已知，〈，〉＝60°， 由·＝||·||·cos〈，〉， 可得2m＝，解得m＝， ∴＝(，，1)， ∵cos〈，〉 ＝＝，

又∵〈，〉∈[0°，180°]， ∴〈，〉＝45°，

即DH与CC′所成的角为45°. 题型二 求直线与平面所成的角

例2 (2016·全国丙卷)如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点． (1)证明MN∥平面PAB；

(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值． (1)证明 由已知得AM＝AD＝2.

2019年

取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝BC＝2. 又AD∥BC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT. 因为AT?平面PAB，MN?平面PAB，所以MN∥平面PAB. (2)解 取BC的中点E，连接AE. 由AB＝AC得AE⊥BC， 从而AE⊥AD，AE＝ ＝ ＝.

以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 由题意知，P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，＝(0,2，－4)，＝，＝. 设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则

→??n·PM＝0，?

→??n·PN＝0，

即可取n＝(0,2,1)．

于是|cos〈n，〉|＝＝.

设AN与平面PMN所成的角为θ，则sin θ＝， ∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为. 思维升华 利用向量法求线面角的方法

(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；

(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．

在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，

2019年

AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图所示． (1)求证：AB⊥CD；

(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．

(1)证明 ∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB?平面ABD，AB⊥BD， ∴AB⊥平面BCD.

又CD?平面BCD，∴AB⊥CD.

(2)解 过点B在平面BCD内作BE⊥BD，如图． 由(1)知AB⊥平面BCD，BE?平面BCD，BD?平面BCD. ∴AB⊥BE，AB⊥BD.

以B为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．

依题意，得B(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A(0,0,1)，M(0，，)， 则＝(1,1,0)，＝(0，，)，＝(0,1，－1)． 设平面MBC的法向量n＝(x0，y0，z0)，

x0＋y0＝0，??

则即?11

y0＋z0＝0，?2?2

取z0＝1，得平面MBC的一个法向量n＝(1，－1,1)． 设直线AD与平面MBC所成角为θ， 则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝，

即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为. 题型三 求二面角

例3 (2016·山东)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．

(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC； (2)已知EF＝FB＝AC＝2，AB＝BC，求二面角FBCA的余弦值． (1)证明 设FC的中点为I，连接GI，HI， 在△CEF中，因为点G是CE的中点，所以GI∥EF.

2019年

又EF∥OB，所以GI∥OB.

在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC，又HI∩GI＝I， 所以平面GHI∥平面ABC.

因为GH?平面GHI，所以GH∥平面ABC.

(2)解 连接OO′，则OO′⊥平面ABC.又AB＝BC，且AC是圆O的直径，所以BO⊥AC. 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 由题意得B(0,2，0)，

C(－2，0,0)．过点F作FM垂直OB于点M，

所以FM＝＝3，可得F(0，，3)． 故＝(－2，－2，0)，＝(0，－，3)． 设m＝(x，y，z)是平面BCF的一个法向量．

?－23x－23y＝0，由可得?

?－3y＋3z＝0.

可得平面BCF的一个法向量m＝，

因为平面ABC的一个法向量n＝(0,0,1)， 所以cos〈m，n〉＝＝. 所以二面角FBCA的余弦值为.

思维升华 利用向量法计算二面角大小的常用方法

(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小． (2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．