2020高考数学一轮复习第八章立体几何8-8立体几何中的向量方法(二)__求空间角和距离理

2019年

【2019最新】精选高考数学一轮复习第八章立体几何8-8立体几何中的向

量方法(二)__求空间角和距离理

1．两条异面直线所成角的求法

设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

范围 求法 l1与l2所成的角θ π(0，] 2|a·b|cos θ＝ |a||b|a与b的夹角β [0，π] a·bcos β＝ |a||b|2.直线与平面所成角的求法

设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝. 3．求二面角的大小

(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．

(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)． 【知识拓展】

利用空间向量求距离(供选用) (1)两点间的距离

设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝||＝. (2)点到平面的距离

如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为||＝. 【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( × )

(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( × )

2019年

(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( × )

(4)两异面直线夹角的范围是(0，]，直线与平面所成角的范围是[0，]，二面角的范围是[0，π]．( √ )

(5)若二面角α－a－β的两个半平面α，β的法向量n1，n2所成角为θ，则二面角α－a－β的大小是π－θ.( × )

1．(2017·烟台质检)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( ) A．45° C．45°或135° 答案 C

解析 cos〈m，n〉＝＝＝， 即〈m，n〉＝45°.

∴两平面所成的二面角为45°或180°－45°＝135°.

2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为( )

A．30° B．60° C．120° D．150° 答案 A

解析 设l与α所成角为θ，∵cos〈m，n〉＝－，

∴sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，∵0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.故选A.

3．(2016·郑州模拟)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为( ) A. C. 答案 A

解析 设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得向量＝(－2,2,1)，＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos〈，〉＝＝＝，故选

B．135° D．90°

B.3D.4

5

5

2019年

A.

4．(教材改编)如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为________． 答案

π 6

解析 以A为原点，以，(AE⊥AB)，所在直线为坐标轴(如图)建立空间直角坐标系，设D为A1B1中点，

则A(0,0,0)，C1(1，，2)，D(1,0,2)，∴＝(1，，2)，

→

AD＝(1,0,2)．

∠C1AD为AC1与平面ABB1A1所成的角，

→→AC1·AD

cos∠C1AD＝→→

|AC1||AD|

＝＝，

又∵∠C1AD∈，∴∠C1AD＝.

5．P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在平面α、β上引射线PM、PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α－AB－β的大小为________． 答案 90°

解析 不妨设PM＝a，PN＝b，如图， 作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F， ∵∠EPM＝∠FPN＝45°， ∴PE＝a，PF＝b， ∴·＝(－)·(－) ＝·－·－·＋·→PF

＝abcos 60°－a×bcos 45°－a×bcos 45°＋a×b ＝－－＋＝0， ∴⊥，

∴二面角α－AB－β的大小为90°. 题型一 求异面直线所成的角

2019年

例1 (2015·课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC. (1)证明：平面AEC⊥平面AFC；

(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．

(1)证明 如图所示，连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF. 在菱形ABCD中，不妨设GB＝1. 由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.

由BE⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，可知AE＝EC. 又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC. 在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝. 在Rt△FDG中，可得FG＝.

在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝，从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.

又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.

因为EG?平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.

(2)解 如图，以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴正方向，||为单位长度，建立空间直角坐标系Gxyz，由(1)可得A(0，－，0)，E(1,0，)，

F，C(0，，0)，

所以＝(1，，)，＝. 故cos〈，〉＝＝－.

所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.

思维升华 用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．