《数学分析》第一章 集合与函数

? 反函数的求法必须通过原函数把自变量解出来. 【解】先把函数写成比较容易解出自变量的形式，

当 k?x?k?1,k?Z时 y?x?[x]?x?k,2k?y?2k?1,k?Z 由此解出 x?y?k

从而反函数为： y?x?k,2k?x?2k?1,k?Z ■ 【知识扩展提示】求反函数时，一定要通过原函数的值域把反函数的定义域求出来.

【例8】设证明不连续函数y?(1?x2)sgnx的反函数是连续函数. 【提示及点评】

? 关键是求反函数.

【解】由y?(1?x)sgnx得：

?1?x2?y??0??(1?x2)?2??x?0，因此 x????x?0?x?0y?10?y?1y?1y?0，y=0是定义域中的孤立点，反y??1函数在除了孤立点外，其他点都连续. ■

【知识扩展提示】求反函数有时是不容易的，对于分段函数，需要一段一段地把它的反函数求出来.

【例9】证明：对于x和y的一切实数值满足方程 f(x?y)?f(x)?f(y)

的惟一的连续函数f(x)(???x???)是齐次线性函数：f(x)?ax，其中a?f(1). 【提示及点评】

? 通过函数的性质，判断函数是怎样的一个函数，是今后解决问题中经常遇到的问

题。此例给出了一个经典方法. 【证明】先证明对任意有理数c均成立：f(cx)?cf(x),(???x??) 设m与n是正整数，则有 f(mx)?f(x?(m?1)x)?f(x)?f((m?1)x)

?f(x)?f(x)?f((m?2)x)???f(x)?f(x)???f(x)?mf(x)

x

xx1)?nf() 从而 f()?f(x) nnnnmxmf(x) 因此有： f(x)?mf()?nnn f(x)?f(n?又 ： f(x)?f(x?0)?f(x)?f(0) 因此 f(0)?0

0?f(0)?f(x?(?x))?f(x)?f(?x) 因此 f(?x)??f(x)

从而有 f(?mnx)??f(mnx)??mnf(x)

综上述有，对任意的有理数c，成立 f(cx)?cf(x),(???x??) 下面证明对无理数c，也成立 f(cx)?cf(x),(???x??)

对于任意的无理数c，由实数稠密性可知，存在一有理数列cn,cn?c,(n??)，于是

f(cnx)?cnf(x)

由于函数连续，因此两边取极限得： f(cx)?cf(x)

综合以上两点得到，对于任意的实数c, 成立 f(cx)?cf(x),(???x??) 从而 f(x)?f(x?1)?xf(1)?ax . ■

【知识扩展提示】证明过程中充分利用了函数的性质、实数稠密性、连续性等进行证明，这种证明方法在以后将经常用到.

【例10】证明：对x和y的一切值满足方程 f(x?y)?f(x)f(y)

x的惟一不恒等于零的连续函数f(x)(???x???)是指数函数：f(x)?a，其中

a?f(1)?0.

【证明】先证明对一切的x?R，均有f(x)?0

由于 f(x)?f(x2?x2)?[f()]，因此，f(x)?0 22x又由于f(x)不恒等于0，因此，存在x0使得f(x0)?0 而f(x0)?f(x0?0)?f(x0)f(0)，因此 f(0)?1

1?f(0)?f(x?(?x))?f(x)f(?x)，因此f(x)?0

从而，对于任意的x，都有f(x)?0

往下证明： 对于任意的有理数c，有 f(cx)?[f(x)],(???x??) 对于任意的正整数m,n ， 有：

f(mx)?f((m?1)x?x)?f((m?1)x)f(x)

c ?f((m?2)x)f(x)f(x)???[f(x)]m

xxf(x)?f(n)?[f()] 从而 f()?[f(x)]n nnnnx1f(mx)?[f()]nnxmm?[f(x)]n

因此，对于任意的有理数c，有 f(cx)?[f(x)]c,(???x??).

由于f(x)是连续函数，因此对于任意的实数c，亦有 f(cx)?[f(x)]c,(???x??)

xx从而 f(x)?f(x?1)?[f(1)]?a a?f(1)?0 . ■

【例11】用有限覆盖定理证明聚点定理.

【证明】设S是有界无限点集，则存在a,b，使得S?[a,b].假设[a,b]中不含有S的聚点.则对?x?[a,b]，都存在一个邻域U(x,?x)，使得该邻域内只包含有S中的有限个点.考虑开覆盖H?{U(x,?x)|x?[a,b]}，显然H覆盖了[a,b]。由有限开覆盖定理得到，存在有限个U(x1,?x),U(x2,?x),?,U(xn,?x),覆盖[a,b]，从而也覆盖了S，而由于每一个只含

12n有S中的有限个点.因此，S是有限点集；这与题设矛盾。从而S存在聚点. ■

六、本章训练题提示点评

【训练题1】研究Dirichlet函数基本特性（单调性、有界性、周期性）.

【训练题2】设f(x)在[-a,a]上有定义，证明f(x)在[-a,a]上可表示为奇函数与偶函数之和.

【训练题3】证明

max{f(x),g(x)}?min{f(x),g(x)}?1212{f(x)?g(x)?|f(x)?g(x)|} {f(x)?g(x)?|f(x)?g(x)|}

【训练题4】设f,g为(a,b)上的单调增加函数，证明?(x)?max{f(x),g(x)}和?(x)?min{f(x),g(x)}也是(a,b)上单调增加函数.

【训练题5】设E为一实数集合，函数f(x)在E上一致连续，E为E的闭包，证明：在E上存在惟一的连续函数?(x)，使得任意的x?E，有?(x)?f(x).

【提示及点评】利用连续性先定义?(x)，其次证明?(x)连续，最后证明这样的?(x).

【训练题6】 设f(x)在[0,1]上连续，且f(0)?f(1)，设n为一自然数，证明存在

x?[0,1]，使得 f(x)?f(x?1n).

【提示及点评】作辅助函数F(x)?f(x)?f(x?1n)，

11f(0)?f(1)?F(0)?F()?F(1?)，然后利用根的存在性定理来证明.

nn

【训练题7】 证明：闭区间[a,b]到[a,b]上的连续函数f(x)必存在不动点（即存在

x?[a,b]，使得f(x)?x）天津工业大学2005年研究生入学考试《数学分析》试题.

【提示及点评】作辅助函数F(x)?x?f(x)，利用根的存在性定理证明.

【训练题8】设f(x)在[a,b]上连续,且至少有一个零点,求证:f(x)在[a,b]上必有最小零点. 中国科学技术大学1997年硕士研究生入学考试数学分析.

【提示及点评】利用下确界与连续证明.

【训练题9】证明：若f（x），g（x）连续，则?(x)?min(f(x),g(x))连续。上海交通大学2003年硕士研究生入学考试数学分析试题.

【提示及点评】直接利用前面例子的min(f(x),g(x))的表达式证明.

【训练题10】用有限覆盖定理证明：闭区间上连续的函数必有界。天津工业大学2006年研究生入学考试《数学分析》试题.

【训练题11】证明Dirichlet函数

??1 f(x)???0?x?有理数 qx为无理数p在所有无理点上连续，在有理点上间断.（大连理工大学2000年研究入学考试数学分析试题）.

【训练题12】设函数f(x)在(0,??)上连续，对于任意的x?(0,??)定义