第二讲 解析几何中的离心率、范围、最值问题

第二讲 解析几何中的离心率、范围、最值问题

一、离心率问题

由圆锥曲线定义求离心率

x2y21. 设P是椭圆2?2?1(a?b?0)上一点，F1、F2为其左右焦点，如果∠PF1F2=15o,∠PF2F1=75o,则椭

ab圆的离心率是_______________________；

2. 过椭圆的左焦点F且倾斜角为60 o的直线交椭圆于A、B两点，若FA?2FB，则椭圆的离心率是_______________________________；

x2y23. 若双曲线2-2?1(a?0，b?0)的两条渐近线的夹角为60 o，则双曲线C的离心率_____________；

aby2?1的离心率是_____________________； 4. 若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x?m2x2y25. F1和F2分别是双曲线2-2?1(a?0，b?0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以OF1为半径的圆

ab与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率是_______________；

x2y26. F1和F2分别是双曲线2-2?1(a?0，b?0)的左、右焦点，若双曲线上存在一点P，使得

ab(PF1?PF2)2?b2?3ab，则此双曲线的离心率是_______________________；

?????????x2y217. 设P是椭圆2?2?1(a?b?0)上一点，F1、F2为其左右焦点，且PF1?PF2?0,tan?PF1F2?，则

2ab该椭圆的离心率是____________________________；

x2y28. 已知点P是双曲线C1：2-2?1(a?0，b?0)和圆C2：x2?y2?a2?b2的一个交点，且

ab2?PF1F2??PF2F1，其中F1、F2为C1左右焦点，则双曲线的离心率是__________________________；

x2y29. 椭圆2?2?1(a?b?0)的半焦距为c，若直线y?2x与椭圆的一个交点的横坐标是c，则椭圆离心

ab率是_________________________；

x2y210. 设P是椭圆2?2?1(a?b?0)上一点，F1、F2为其左右焦点，O是坐标原点，

abtan?FOP?1

3,tan?PFO?2?3，则椭圆的离心率是_____________________； 131

x2y2111. 已知椭圆E：2?2?1(a?b?0)的半焦距c，原点O到经过两点(c,0)，(0,b)的直线的距离为c，

2ab则椭圆的离心率是____________________________；

x2y212. 双曲线C1：2-2?1(a?0，b?0)的渐近线与抛物线C2：x2?2py(p?0)交与点O，A，B，若

ab△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________________________； 求离心率的取值范围

x2y21. 已知椭圆2?2?1(a?b?0)，F1、F2为其左右焦点，其右准线L上存在点A(点A在x轴上方)，

ab使三角形△AF1F2为等腰三角形，则椭圆离心率e的取值范围是_________________________；

x2y22. F1和F2分别是双曲线2-2?1(a?0，b?0)的左、右焦点，若双曲线上存在一点P，且PF1=2PF2，

ab则双曲线的离心率取值范围是____________________________；

2PF2x2y23. F1和F2分别是双曲线2-2?1(a?0，b?0)的左、右焦点，P是双曲线上任意一点，若的最小

PF1ab值为8a，则双曲线离心率e的范围是_______________________；

x2y2?4. 已知椭圆2?2?1(a?b?0)，F1、F2为其左右焦点，P是椭圆上一点，若?FPF12=120，则该椭圆

ab的离心率的取值范围是___________________________________；

x2y25.已知椭圆2+2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1(-c，0)和F2(c，0)，若椭圆上存在一点P使

absin?PF1F2a?，则该椭圆的离心率取值范围为____________________________；

sin?PF2F1c??????????6. 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足MFMF2=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是1?____________；

x2y27. 已知椭圆2?2?1(a?b?0)，F1、F2为其左右焦点，P是椭圆上一点，若?FPF12为钝角，则该椭圆

ab的离心率的取值范围是_________________________；

二、取值范围、最值问题 1.利用几何性质求最值

x2y2?1 的左焦点，已知F是双曲线：-A(1,4) 是双曲线右支上的动点，则PF+PA的最小值是_______；

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2.利用不等式求最值

???????? 已知F为抛物线y?x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA?OB=2(其中O为坐标原点)

2，则△ABO和△AFO面积之和的最小值是__________________________； 3.利用函数求最值

已知定点F1(-1，0)，F2(1，0)，动点P(x，y)，且满足PFFFPF2等差数列. 1，12，（1）求点P的轨迹C1的方程；

（2）若曲线C2的方程为(x?t)2?y2?(t2?2t)2(0?t?直线被曲线C1截得的线段长度的最小值。

已知圆M和圆P：x2?y2?22x?10?0相内切，且过定点Q(?2,0).

（1）求动圆圆心M的轨迹方程；

（2）不垂直于坐标轴的直线L与动圆圆心M的轨迹交于点A，B两点，且线段AB的垂直平分线经过点

2)，过点A(-2,0)的直线L与曲线C2相切，求21(0,?)，求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值。

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求范围

已知直线(1?3m)x?(3?2m)y?(1?3m)?0(m?R)所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离是3. （1）求椭圆C的椭圆标准方程；

（2）设过点F的直线L交椭圆于A，B两点，若

1218?FA?FB?，求直线L的斜率的取值范围. 57x2?y2?1的左，右焦点. 设F1，F2分别是椭圆4????????（1）若P是该椭圆上的一个动点，求PFPF2的最大值和最小值； 1?（2）设过定点M(0，2)的直线L与椭圆交于不同的两点A，B，且?AOB为锐角（其中O是坐标原点），求直线L的斜率的取值范围。

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