2015年辽宁省抚顺市中考数学试卷（解析版）

点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理和平行四边形的判定、切线的判定等知识，得出△ODC≌△OFC是解题关键．

七、解答题（共1小题，满分12） 25．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．

（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；

（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由； （3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）

考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．

分析： （1）首先过点D作DF⊥BC，交AB于点F，得出∠BDE=∠ADF，以及∠EBD=∠AFD，再得出△BDE≌△FDA（ASA），求出即可；

（2）首先过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD=∠AGD，证出△BDE∽△GDA即可得出答案；

（3）首先过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD=∠AGD，证出△BDE∽△GDA即可得出答案．

解答： （1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F， 则∠BDE+∠FDE=90°， ∵DE⊥AD，

∴∠FDE+∠ADF=90°， ∴∠BDE=∠ADF，

∵∠BAC=90°，∠ABC=45°， ∴∠C=45°， ∵MN∥AC，

∴∠EBD=180°﹣∠C=135°， ∵∠BFD=45°，DF⊥BC， ∴∠BFD=45°，BD=DF， ∴∠AFD=135°， ∴∠EBD=∠AFD，

在△BDE和△FDA中

，

∴△BDE≌△FDA（ASA）， ∴AD=DE；

（2）解：DE=AD，

理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G， 则∠BDE+∠GDE=90°， ∵DE⊥AD，

∴∠GDE+∠ADG=90°， ∴∠BDE=∠ADG，

∵∠BAC=90°，∠ABC=30°， ∴∠C=60°， ∵MN∥AC，

∴∠EBD=180°﹣∠C=120°， ∵∠ABC=30°，DG⊥BC， ∴∠BGD=60°， ∴∠AGD=120°， ∴∠EBD=∠AGD， ∴△BDE∽△GDA， ∴

=

，

在Rt△BDG中， =tan30°=

，

∴DE=AD；

（3）AD=DE?tanα；

理由：如图2，∠BDE+∠GDE=90°， ∵DE⊥AD，

∴∠GDE+∠ADG=90°， ∴∠BDE=∠ADG，

∵∠EBD=90°+α，∠AGD=90°+α， ∴∠EBD=∠AGD， ∴△EBD∽△AGD， ∴

=

，

在Rt△BDG中， =tanα，则

=tanα，

∴AD=DE?tanα．

点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，得出△EBD∽△AGD是解题关键．

八、解答题（共1小题，满分14分）

26．已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示，A点坐标为（﹣6，0），B点坐标为（4，0），点D为BC的中点，点E为线段AB上一动点，连接DE经过点A、B、C三点的抛物线的解析

2

式为y=ax+bx+8．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，将△BDE以DE为轴翻折，点B的对称点为点G，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，求G点的坐标；

（3）如图②，当点E在线段AB上运动时，抛物线y=ax+bx+8的对称轴上是否存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

2

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）根据抛物线y=ax+bx+8经过点A（﹣6，0），B（4，0），应用待定系数法，求出抛物线的解析式即可． （2）首先作DM⊥抛物线的对称轴于点M，设G点的坐标为（﹣1，n），根据翻折的性质，可得BD=DG；然后分别求出点D、点M的坐标各是多少，以及BC、BD的值各是多少；最后在Rt△GDM中，根据勾股定理，求出n的值，即可求出G点的坐标．

（3）根据题意，分三种情况：①当CD∥EF，且点E在x轴的正半轴时；②当CD∥EF，且点E在x轴的负半轴时；③当CE∥DF时；然后根据平行四边形的性质，求出点F的坐标各是多少即可．

2

解答： 解：（1）∵抛物线y=ax+bx+8经过点A（﹣6，0），B（4，0）， ∴

2

解得

∴抛物线的解析式是：y=﹣x﹣x+8．

2

（2）如图①，作DM⊥抛物线的对称轴于点M，设G点的坐标为（﹣1，n）， 由翻折的性质，可得BD=DG， ∵B（4，0），C（0，8），点D为BC的中点， ∴点D的坐标是（2，4）， ∴点M的坐标是（﹣1，4），DM=2﹣（﹣1）=3， ∵B（4，0），C（0，8）， ∴BC=

=4

，

，

∴， 在Rt△GDM中， 22

3+（4﹣n）=20， 解得n=4±，

∴G点的坐标为（﹣1，4+

2

）或（﹣1，4﹣）．

（3）抛物线y=ax+bx+8的对称轴上存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形．

①当CD∥EF，且点E在x轴的正半轴时，如图②，由（2），可得点D的坐标是（2，4），

设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（﹣1，d），

，