第三章第6课时知能演练轻松闯关

1．(教材习题改编)已知△ABC中，a＝2，b＝3，B＝60°，那么角A等于( ) A．135° B．90° C．45° D．30° 答案：C

2．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋bc，则A等于( ) A．60° B．45° C．120° D．30° 答案：C

3．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积是( ) 33153A. B.

42153153C. D. 48答案：C

4．已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.若a＝c＝6＋2，且∠A＝75°，则b等于( )

A．2 B．4＋23 C．4－23 D.6－2

解析：选A.由条件知只有一解，如图所示． 在△ABC中，由正弦定理得，

6＋26＋2b

＝＝＝4， sin30°sin75°sin?45°＋30°?∴b＝2. 5．(2010·高考广东卷)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sinA＝________.

1答案： 2

6．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，又c＝21，b＝4，且BC边上的高h＝23.则角C＝________，a＝________.

解析：△ABC为锐角三角形，过A作AD⊥BC于D点，

233sinC＝＝，则C＝60°.

42

又由余弦定理可知

1

(21)2＝42＋a2－2·4·a·，

2

即a2－4a－5＝0，∴a＝5或a＝－1(舍)．

因此所求角C＝60°，a边长为5. 答案：60° 5

→→1．如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是边BC上的高，则AD·AC的值等于( )

A．0 B．4 C．8 D．－4 答案：B 2．在△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，且sin2A－sin2C＝(sinA－sinB)sinB，则角C等于( )

ππA. B. 635π2πC. D. 63答案：B

3．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长是( )

66A. B. 3213C. D. 22

cbcsinBsin45°6

解析：选A.由＝，得b＝＝＝，

sinCsinBsinCsin60°3

∵B角最小，∴最短边是b.

4．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是( )

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形

1

解析：选A.∵2c2＝2a2＋2b2＋ab，∴a2＋b2－c2＝－ab，

2

222a＋b－c1

∴cosC＝＝－<0，即90°

2ab4

∴△ABC是钝角三角形．故选A.

5．已知A、B两地间的距离为10 km，B、C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地间的距离为________．

1

解析：利用余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°＝102＋202－2×10×20×(－)

2

＝700，

∴AC＝107(km)． 答案：107 km

π1

6．(2011·高考北京卷)在△ABC中，若b＝5，∠B＝，sin A＝，则a＝________.

43

ab

解析：根据正弦定理应有＝，

sin Asin B

15×

352bsin A

∴a＝＝＝. sin B322

52答案：

3

2

7．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，B＝π，b＝13，a＋c＝4，求a

3

的值．

解：由余弦定理有b2＝a2＋c2－2accosB

2

＝a2＋c2－2accosπ

3

＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac.

又∵a＋c＝4，b＝13，∴ac＝3.

?a＋c＝4，?联立?解得a＝1或a＝3.

??ac＝3，

a

1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若b2＋c2－bc＝a2，且＝3，

b

则角C的值为( )

A．45° B．60° C．90° D．120°

22222

解析：选C.由b＋c－bc＝a，得b＋c－a2＝bc，

b2＋c2－a21

∴cosA＝＝，∴A＝60°.

2bc2

asinA又＝3，∴＝3， bsinB

3331

∴sinB＝sinA＝×＝，

3322

∴B＝30°，∴C＝180°－A－B＝90°.

→→→→?ABAC?→AC·BC2→→→

＋2．已知非零向量AB，AC和BC满足?·BC＝0，且＝，则△ABC为?2→→→→?|AB||AC|?|AC|·|BC|

( )

A．等边三角形 B．等腰非直角三角形 C．直角非等腰三角形 D．等腰直角三角形

→→AC·BC2

解析：选D.∵＝cos∠ACB＝，

2→→

|AC|·|BC|

∴∠ACB＝45°，

→→?ABAC?→＋又∵?·BC＝0， →→??|AB||AC|?∴∠A＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形，故选D. 3．(2012·广州调研)△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知c＝3，π

C＝，a＝2b，则b的值为________．

3

答案：3

→→

4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，若b 2＋c2＝a2＋bc，且AC·AB＝4，则△ABC的面积等于________．

b2＋c2－a21

解析：∵b＋c＝a＋bc，∴cosA＝＝，

2bc2

→→∵AC·AB＝4，∴b·c·cosA＝4，∴bc＝8，

11∴S＝AC·ABsinA＝×bc·sinA＝23.

22答案：23 5.

2

2

2

如图，南山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架了一条索道AC，小李在山脚B处看索道，发现张角∠ABC＝120°，从B处攀登400米到达D处，回头看索道，发现张角∠ADC＝160°，从D处再攀登800米到达C处，问索道AC长多少？(精确到米，使用计算器计算)

解：在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°. ∵∠ADC＝160°，∴∠ADB＝20°，∴∠DAB＝40°.

BDAD∵＝， sin∠DABsin∠ABD400AD∴＝，∴AD≈538.9(米)． sin40°sin120°

在△ADC中，DC＝800，∠ADC＝160°，

222

∴AC＝AD＋DC－2AD·DC·cos∠ADC

22

＝538.9＋800－2×538.9×800·cos160°≈1740653.8， ∴AC≈1319(米)．

∴索道AC长约1319米．

→→8

6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且AB·AC＝S△ABC(其中S△ABC

3

为△ABC的面积)．

(1)求sinA的值；

(2)若b＝2，△ABC的面积S△ABC＝3，求a的值．

81→→8

解：(1)∵AB·AC＝SABC，∴bccosA＝×bcsinA，

332

sinA3

∴tanA＝＝，

cosA4

3

又sin2A＋cos2A＝1，A∈(0，π)，∴sinA＝.

5

1133

(2)S△ABC＝bcsinA＝×2c×＝c＝3，∴c＝5.

2255334

∵sinA＝，tanA＝，∴cosA＝，

545

a2＝b2＋c2－2bccosA＝13，∴a＝13.