2020年高考数学理科一轮复习讲义：第7章 立体几何 第4讲 Word版含解析

且PN＝2.

求证：MN∥平面PDC.

证明 在正三角形ABC中，BM＝23. 在△ACD中，∵M为AC的中点，DM⊥AC， ∴AD＝CD，又∵∠ADC＝120°， 23BM

∴DM＝3，则MD＝3.

在等腰直角三角形PAB中，PA＝AB＝4， BNBNBM

∴PB＝42，则NP＝3，∴NP＝MD，∴MN∥PD. 又MN?平面PDC，PD?平面PDC， ∴MN∥平面PDC.

角度2 线面平行性质定理的应用

2．如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求证：四边形EFGH是矩形．

证明 ∵CD∥平面EFGH，而平面EFGH∩平面BCD＝EF， ∴CD∥EF.

同理HG∥CD，∴EF∥HG. 同理HE∥GF，

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∴四边形EFGH为平行四边形，∴CD∥EF，HE∥AB， ∴∠HEF为异面直线CD和AB所成的角． 又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF. ∴平行四边形EFGH为矩形．

1．判定线面平行的四种方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)；

(2)利用线面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a?α?a∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a?α，a?β，a∥α?a∥β)． 2．用线面平行的判定定理证明线面平行

(1)关键：在平面内找到一条与已知直线平行的直线．

(2)方法：合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形等证明两直线平行．

(3)易错：容易漏掉说明直线在平面外． 3．用线面平行的性质定理证明线线平行 (1)定势：看到线面平行想到用性质定理．

(2)关键：合理选择过已知直线的平面与已知平面相交．

1．(2016·全国卷Ⅲ改编)如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．证明：MN∥平面PAB.

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证明 由已知得AM＝3AD＝2.如图，

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取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝2BC＝2. 又AD∥BC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.

因为AT?平面PAB，MN?平面PAB，所以MN∥平面PAB.

2．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.求证：PA∥GH.

证明 如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是AC的中点，

又M是PC的中点，∴AP∥OM. 又MO?平面BMD，PA?平面BMD，

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∴PA∥平面BMD.

∵平面PAHG∩平面BMD＝GH， 且PA?平面PAHG，∴PA∥GH. 题型 二 平面与平面平行的判定与性质

如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

(1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG.

证明 (1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点， ∴GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G四点共面．

(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC， ∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG.

又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綊AB， ∴A1G綊EB.

∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. ∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E， ∴平面EFA1∥平面BCHG.

条件探究 在举例说明中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AD

AB1D1”，试求DC的值．

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