江苏省苏锡常镇四市2019届高三数学教学情况调查试题(二)(含解析)

【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】

（1）利用数学归纳法直接证明，假设当

时，

入即可证得：当

时，

时，

时，，可将证明

，转化成证明

（

可判函数当

，

时，

在

）成立。构造函数

，即可证得：当

时，

，再转化成证明

，利用导数即成立，即可证得：

时，

，将

成立，问题得证。 成立，假设当

时， 成立， 问题转化成：成立，则当

代

（2）利用数学归纳法证明，先证明

成立，证明：当

因为证明

上递增，结合

成立，问题得证。

【详解】（1）①当满足②假设当下证：当因为

成立.

时，结论成立.即：

时，

成立。

成立

即：当

时，

(n时，

成立 )成立。 成立，

成立，

时（时，

），结论正确，即：

成立.

成立

由①、②可知，（2）（ⅰ）当当

时，

（ⅱ）假设下证：当

因为要证只需证只需证：只需证：即证：记

当所以又所以，当即：当即：当所以当

时，时，时，，

恒成立。 成立。

恒成立. 恒成立.

，不等式

时，

在

上递增，

，

（

）

，

由（ⅰ）（ⅱ）可得：对任意的正整数恒成立，命题得证.

【点睛】本题主要考查了利用数学归纳法证明等式及证明不等式，考查了构造思想及转化思想，还考查了利用导数证明不等式恒成立问题，考查计算能力及化归能力，属于难题。