江苏省苏锡常镇四市2019届高三数学教学情况调查试题(二)(含解析)

（2）若函数（3）对任意

的极小值不超过，求实数的最小值； [1，2]，总存在

[4，8]，使得

＝

成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）2；（3）【解析】 【分析】 （1）求得

，利用曲线

，问题得解

（2）由（1）可得：

在处的切线斜率为1列方程可得：

，函数的极小值不超过，说明函数有

极小值，即可判断且其极小值

在

上递减，结合

，可转化成，即可求得

，记，问题得

，利用导数可得

解。 （3）记

在，使得的单调性，利用

的值域为，

在的值域为，“对任意，总存在

成立”可转化成： 列不等式即可得解。

恒成立，对的大小分类，即可判断函数

【详解】（1）由题可得：又曲线解得：

在

，所以 ，

处的切线斜率为1，所以

（2）

因为函数则即：记：当

时，

的极小值不超过，说明函数有极小值

，其极小值

，上述不等式可转化成

，

要使得因为所以

在

，则

恒成立，

上递减，

所以实数的最小值为 （3）记对任意则

在

的值域为，，总存在

成立

在

的值域为

成立，

，使得

（Ⅰ）当（Ⅱ）当（Ⅲ）当要使得 即：整理得：（Ⅳ）当要使得 即：整理得：（Ⅴ）当综上所述：

时，

时，时， ，则

在

在在

递增，不满足

递减，在递减，在

递增，不满足 递增，

时， ，则

在

时，

在

递减，，不满足

.

递减，在

递增，

【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及极值的概念，还考查了利用导数判断函数的单调性并利用单调性解不等式，还考查了分类思想及转化思想，考查分析能力及计算能力，属于难题。

20.已知数列是各项都不为0的无穷数列，对任意的n≥3，n恒成立．

，

（1）如果，，成等差数列，求实数（2）已知＝1．①求证：数列比为q的等比数列，满足的任意一项都是数列【答案】（1） （2）①见解析②见解析 【解析】 【分析】 （1）令

，可得

，

值；

中，

．数列

是公中

是等差数列；②已知数列

，

(i中的项．

，两边同除以

，问题得解。

，成等差数列可得：（2）①在

，两式作差可得：

，再利用数学归纳法证明，假设

且公差为，则当得证。 ②数列数，由

是等差数列，公差为，即可求得：，

，，又

成等比数列即可求得：时，

的)．求证：q是整数，且数列

，可得：

，结合，

中，用

代可得：

，整理得：

时，

成等差数列，成立，问题

，即可求得，令

，所以是整，整理得：

，利用二项式定理展开得：

，即可求得：

，问题得解。

【详解】（1）由题可得：当两边同除以

，可得：

时，

因为，，成等差数列，所以

所以，解得： 时，

…（Ⅰ）

（2）①由题可得：当用

代上式中的，可得：

…（Ⅱ）

可得：

时，，，成等差数列，结论正确.

成等差数列，且公差为

（Ⅱ）（Ⅰ）得：上式两边同除以整理得：整理得：

（ⅰ）由（1）得，当（ⅱ）假设下证即证又

.

所以

成立.

，数列

时，结论正确。即：时，

成等差数列.

由（ⅰ）（ⅱ）可得：对任意的②由①得：数列所以又所以整理得：

，

，，，即：

是等差数列.

是等差数列，公差为

（

）

成等比数列，

所以，所以是整数