湖南省郴州市2020届高三数学第二次教学质量监测试题 文（含解析） - 图文

（1）判断与是否有很强的线性相关性？

（相关系数的绝对值大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性，精确到0.01） （2）求线性回归方程（3）将（精确到0.01）；

分钟的时间数据称为美丽数据，现从这6个时间数据中任取2个，求抽取

的2个数据全部为美丽数据的概率. 参考数据：，，，，

， 参考公式：， 【答案】（1）与有很强的线性相关性；（2）【解析】 【分析】

；（3） （1）通过计算线性相关系数可得答案；（2）根据题意写出统计表，用统计表中的数据求出横标和纵标的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数、，写出线性回归方程；（3）根据（2）中求出的线性回归方程，求出符合要求的数据个数，再列出全部情况，由古典概型的公式，求出所求概率.

【详解】（1）∴与有很强的线性相关性

（2）依题意得， ， 所以 又因为故线性回归方程为（3）由（2）可知，当足时， ，当时，，所以满分钟的美丽数据共有3个，设3个美丽数据为、、，另3个不是美丽数据为、、，，，，，，，，，，，，则从6个数据中任取2个共有15种情况，即，，，，，，其中，抽取到的数据全部为美丽数据的有3种情况，即 .所以从这6个数据中任取2个，抽取的2个数据全部为美丽数据的概率为【点睛】线性回归方程的简单求解，与古典概型相结合，题目难度不大，对计算能力要求较高，属于中档题目. 20.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点

，求抛物线的标准方程；

（1）若以，为直径的圆的方程为（2）过，分别作抛物线的切线，，证明：，的交点在定直线上. 【答案】（1）【解析】 【分析】

（1）由抛物线的定义求出，可得抛物线方程

（2）利用导数求出过、两点的切线方程，并求出其交点.再由直线两点的坐标关系.带入交点坐标，可得所求定直线. 【详解】（1）设则 ,所以 ，所以，可得 中点为,到准线的距离为，到准线的距离为，到准线的距离为.与抛物线联立得到、；（2）见解析

由抛物线的定义可知，由梯形中位线可得所以，而∴抛物线（2）设由得 ，则 ，直线方程为，即，交点坐标为 代入抛物线 中得

所以直线方程为联立得因为过焦点，所以设直线方程为∴所以 上

所以，的交点在定直线【点睛】本题考查抛物线的定义，以及圆锥曲线当中定点定值的求法.题目较综合，对计算量的要求比较高，属于中档题目. 21.已知函数（1）求函数（2）若函数【答案】（1）见解析；（2）【解析】 【分析】 （1）对求导，得到导函数等于0时的两根，然后对两根的大小以及结合的正负进行分类的单调区间；

恒成立，求实数的取值范围. . 讨论，得到导函数值的正负，然后得到原函数的单调区间 （2）对恒成立问题进行参变分离，得到的取值范围. 【详解】（1）函数1）当2）当①当时，时，时，，所以函数的定义域为，，所以函数在，且方程在 单调递减，在有两根-1，单调递减、在单调递增； ；

，，即求不等号右边函数的最小值，从而得到单调递增；

②当时，，所以函数在，单调递减、在单调递增. 综上，当当当时，函数在在，恒成立，即在单调递减、在单调递减、在单调递减、在，即， 单调递增； ，单调递增； 单调递增.

时，函数时，函数（2）函数设函数所以函数所以在，则单调递减，在 ，令，解得， 的最小值 单调递增，所以函数所以的取值范围是【点睛】通过求导得到函数的单调区间，分类讨论的数学思想，恒成立问题利用参变分离求参数的范围.题目综合程度高，对计算的要求也比较高，属于难题.

（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号. 22.已知极坐标系中，点，曲线的极坐标方程为，点在曲线上运动，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.

（1）求直线的普通方程与曲线的参数方程； （2）求线段的中点到直线的距离的最小值.

，：；（2） 【答案】（1）：【解析】 【分析】

（1）根据参数方程与普通方程的互化得到直线的普通方程，曲线的参数方程；（2）分别得到点M和点N的直角坐标，再由点到直线的距离公式得到结果. 【详解】（1）∵直线的参数方程为（为参数）.