当前位置：首页 > 2020-2021学年上海市杨浦区高考数学二模试卷(文科)及答案解析
【解答】解：（1）当a=﹣时，
=
=
∴函数f（x）是偶函数．
（2）∵函数f（x）与f（x）单调性相同， ∴当a＞0时，函数f（x）为增函数，
则y=f（x）+f（x）在区间[1，2]上为增函数，
则函数的最小值为当x=1时，y=f（1）+f（1）=1+log23， 即a+log23+f（1）=1+log23，则f（1）=1﹣a， 即f（1﹣a）=1， 则a（1﹣a）+log2（2得a=1，
此时f（x）=x+log2（2+1）在[1，2]上是增函数， 则函数的最大值为f（2）=2+log2（2+1）=2+log25．
22．已知数列{an}和{bn}满足：a1=2，有
（1）求证：数列
．
2
x1﹣a
﹣1
﹣1
﹣1
﹣1
﹣1
，定义域为R，
=f（x），
=
+1）=1，
，且对一切n∈N，均
*
为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{bn}的前n项和Sn； （3）设均有Tk≥Tn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
，记数列{cn}的前n项和为Tn，求正整数k，使得对任意n∈N，
*
【分析】（1）数列{an}满足：a1=2，利用等差数列的通项公式即可得出． （2）数列{bn}满足：对一切n∈N，均有
*
，变形为﹣=1，
．可得b1=2．当n≥2时，
bn==2．利用等比数列的前n项和公式可得Sn．
n
（3）由cn=﹣=﹣．利用等比数列的前n项和公式、“裂项求和”方法
可得数列{cn}的前n项和为Tn．再利用其单调性即可得出． 【解答】（1）证明：数列{an}满足：a1=2，∴
﹣
=1，
，
∴数列为等差数列，公差为1，首项为2．
∴=2+（n﹣1）=n+1，∴an=n（n+1）．
*
（2）解：数列{bn}满足：对一切n∈N，均有∴b1=
=2．
．
当n≥2时，bn====2．（n=1时也成立）．
n
∴数列{bn}的前n项和Sn==2﹣2．
n+1
（3）解：，
cn==﹣=﹣．
∴数列{cn}的前n项和为Tn=﹣=﹣．
Tn+1﹣Tn=﹣=﹣
=，
可知：n=1，2，3时，Tn+1＞Tn； n≥4时，Tn+1＜Tn．
∴T1＜T2＜T3＜T4＞T5＞T6…， ∴T4为最大值．
∴取正整数k=4，使得对任意n∈N，均有T4≥Tn．
23．已知椭圆C：
的焦距为
，且右焦点F与短轴的两个端点组成一
*
个正三角形．若直线l与椭圆C交于A（x1，y1）、B（x2，y2），且在椭圆C上存在点M，使得：
（其中O为坐标原点），则称直线l具有性质H．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l垂直于x轴，且具有性质H，求直线l的方程；
（3）求证：在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP都具有性质H． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（1）由椭圆的焦距为由此能求出椭圆C的方程．
（2）设直线l：x=t，（﹣2＜t＜2），则A（t，y1），B（t，y2），设M（xm，ym），求出=﹣
，由点M在椭圆C上，能求出直线l的方程．
，
，右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形，求出a，b，
（3）假设在椭圆C上存在三个不同的点P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x3，y3），使得直线PQ、QR、RP都具有性质H，利用反证法推导出相互矛盾结论，从而能证明在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP都具有性质H． 【解答】解：（1）∵椭圆C：
的焦距为
，∴c=
，
∵右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形，∴c=∴a=b+c=4， ∴椭圆C的方程为
．
2
2
2
，解得b=1，
（2）设直线l：x=t，（﹣2＜t＜2），则A（t，y1），B（t，y2）， 其中y1，y2满足：设M（xm，ym）， ∵∴
，
（其中O为坐标原点），
=﹣
，
，
， 或x=﹣
． ，y1+y2=0，
∵点M在椭圆C上，∴∴49t+4﹣t=100，∴t=∴直线l的方程为x=
2
2
证明：（3）假设在椭圆C上存在三个不同的点P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x3，y3）， 使得直线PQ、QR、RP都具有性质H，
∵直线PQ具有性质H，∴在椭圆C上存在点M，使得：设M（xm，ym），则
，ym=
，
，
∵点M在椭圆上，∴+（）=1，
2
又∵，，∴=0，①
同理： =0，②，，③
1）若x1，x2，x3中至少一个为0，不妨设x1=0，则y1≠0，
由①③得y2=y3=0，即Q，R为长轴的两个端点，则②不成立，矛盾． 2）若x1，x2，x3均不为0，则由①②③得
=﹣
＞0，矛盾．
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