2020-2021学年上海市杨浦区高考数学二模试卷(文科)及答案解析

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】“【解答】解：“

”，可得0≤tanα＜

”?0≤tanα＜

，“?“

”；反之不成立，α可能为钝角． ”；

反之不成立，α可能为钝角． ∴“故选：A．

17．设x，y，z是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（ ） A．C．

B．

D．|x﹣y|≤|x﹣z|+|y﹣z|

”是“

”的充分不必要条件．

【考点】基本不等式．

【分析】A．x，y，是互不相等的正数，令t=x+≥2，可得：（t+1）≥0，即可判断出真假； B.

﹣

=

﹣

，即可判断出真假． ﹣

=t﹣t﹣2=（t﹣2）

2

C．取x=1，y=2，即可判断出真假；

D．|x﹣y|=|（x﹣z）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|y﹣z|，即可判断出真假． 【解答】解：A．∵x，y，是互不相等的正数，令t=x+≥2，∴﹣2）（t+1）≥0，正确； B．∵

＞

≤0，∴

C．取x=1，y=2，则|x﹣y|+

，∴

≤

﹣，正确．

=

﹣

﹣

=t﹣t﹣2=（t

2

=1﹣1=0＜2，因此不正确；

D．|x﹣y|=|（x﹣z）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|y﹣z|，正确． 故选：C．

18．空间中n条直线两两平行，且两两之间的距离相等，则正整数n至多等于（ ） A．2

B．3

C．4

D．5

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．

【分析】取与n条平行线垂直的平面α，则n条直线在平面α内的投影为n个点，将直线问题转化为平面内的点的问题解决．

【解答】解：取平面α，使得两两平行的n条直线与平面α垂直，则n条直线在平面α内的投影为n个点，且这n个点之间的距离两两相等．

∴n的最大值为3．此时n个投影点组成一个正三角形． 故选：B． 三、解答题

19．如图，底面是直角三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，动点．

（1）证明：DC1⊥BC；

（2）求三棱锥C﹣BDC1的体积．

，D是棱AA1上的

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．

【分析】（1）由棱锥是直棱锥可得侧面与底面垂直，由面面垂直的性质可得BC⊥平面ACC1A1，进一步得到BC⊥DC1；

（2）利用等积法，把三棱锥C﹣BDC1的体积转化为三棱锥B﹣CDC1的体积求解．

【解答】（1）证明：如图，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC， ∴CC1⊥底面ABC，又CC1?面ACC1A1，

∴面ACC1A1⊥底面ABC，而面ACC1A1∩底面ABC=AC， 由△ABC为Rt△，且AC=BC，得BC⊥AC， ∴BC⊥平面ACC1A1， ∴BC⊥DC1；

（2）解：由（1）知，BC⊥平面ACC1A1， ∵∴AA1=2， 则∴

=

．

，

20．某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA及PB，现打算用它们和两面成直角的墙OM、ON围成一个如图所示的四边形菜园OAPB（假设OM、ON这两面墙都足够长）．已知|PA|=|PB|=10（米），

，∠OAP=∠OBP．设∠OAP=θ，四边形OAPB的面积为S．

（1）将S表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围； （2）求出S的最大值，并指出此时所对应θ的值．

【考点】正弦定理；余弦定理．

【分析】（1）在三角POB中，由正弦定理，得：（cosθ+sinθ）．再利用三角形面积计算公式即可得出．

（2）由（1）利用倍角公式与和差公式、三角函数的单调性最值即可得出． 【解答】解：（1）在三角POB中，由正弦定理，得：（cosθ+sinθ）． 所以，S=∪

．

2

2

，得OB=10

，得OB=10

=100（sinθcosθ+sinθ），θ∈

2

（2）S=100（sinθcosθ+sinθ）=50（2sinθcosθ+2sinθ） =50（sin2θ﹣cos2θ+1）=所以S的最大值为：50

21．已知函数

，其中a∈R．

+50，θ=

．

，

（1）当a=﹣时，求证：函数f（x）是偶函数；

（2）已知a＞0，函数f（x）的反函数为f（x），若函数y=f（x）+f（x）在区间[1，2]上的最小值为1+log23，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值． 【考点】函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质． 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．

（2）根据f（x）与反函数的单调性相同，根据最小值建立方程关系求出a的值进行求解即可．

﹣1

﹣1