354.中心对称教学案（格式一）

中心对称（第一课时）

【目标导航】

1．知道中心对称的概念，能说出中心对称的定义和关于中心对称的两个图形的性质． 2．会画与已知图形关于一点成中心对称的图形． 3．了解中心对称与中心对称图形的联系与区别. 【要点梳理】

与中心对称有关的概念

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关 于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称 点．

例1如图，四边形ABCD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答． （1）这两个图形是中心对称图形吗？如果是对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由．

（2）如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点分别是哪些点．

解析：(1)延长AD到A?,使A?D?AD,延长CD到C?,使CD?C?D,连接BD并延长到B?,

使B?D?BD,连接A?B?,B?C?,则四边形A?B?C?D,这两个图形是中心对称图形，对称中心是D点.

（2）A、B、C、D关于对称中心的对称点分别是A?,B?,C?,D. 活动与探究（见课本P69） 中心对称的性质

1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． 2．关于中心对称的两个图形是全等图形．

注意：中心对称是一种特殊的旋转——旋转角为180?，因此，它具备旋转的所有性质． 例2（1）下列命题正确的是（ ）

A.两个全等三角形必关于某一点中心对称． B.关于中心对称的两个三角形不一定是全等三角形．

C.两个三角形对应点连线都经过同一点，这两个三角形关于该点成中心对称． D.关于中心对称的两个三角形，对称点连线都经过对称中心． 答案：D

（2）右图中，?ABC与?A'B'C'关于点O成中心对称，下列结论中不成立 的是（ ）

A．OC?OC' B．OA?OA' C．BC?B'C' D．?ABC??A'C'B'

答案D

例3 如图，已知△ABC和点O，画出△A?B?C?，使△A?B?C?和△ABC关于点O成中心对称．

解析：连接AO并延长到A?，使AO?A?O;连接BO并延长到B?,使BO=B?O；连接CO并延

长，使CO?C?O,连接A?B?,B?C?,A?C?,则△A?B?C?为所求作的三角形

练习：如图，已知四边形ABCD和BC边上一点O，画出四边形ABCD关于O点的对称图形．

作法：连接AO 并延长到A?使OA?OA?,连接DO并延长到D?,使OD?OD? 连接BD?,D?A?,A?C,四边形BD?A?C就是所要画的四边形

A?D?

例4 如图，点O是矩形ABCD的对称中心，过点O任意作直线l，并过点B作BE⊥l于 E，过点D作DF⊥l于F，求证：BE＝DF．

解析：连接不到，因为点O是矩形ABCD的对称中心,即对角线的交点，所以OB=OD, ?OFD??OEB,?FOD??EOB,所以△BOE≌△FOD ,所以 BE＝DF

练习：如图，在△ABC中，D是AB的中点，E、F分别是AC、BC上的点，且DE⊥DF． 求证：SΔDEF?SΔADE?SΔBDF．

中心对称图形的概念

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

注意：中心对称是指两个图形的特殊位置关系，而中心对称图形只对某一图形而言． 例5 1．下列图形中是中心对称图形的有 ．(只填序号)

(1) 线段；(2) 角；(3) 等边三角形；(4) 平行四边形；(5) 菱形；(6) 矩形； (7) 正方形．

.答案：（1），（4），（5），（6），（7）

2．等边三角形、矩形、菱形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称的图形是 ．答案：矩形、菱形和圆

练习：1．下列图形中是中心对称图形的是( )

A． B． C． D． 答案：D

2.（2011山东泰安，3，3分）下列图形：

其中是中心对称图形的个数为（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B

3．如图，是我国古代数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中所画的图形，它是由四个相同的 直角三角形拼成的，下面关于此图形的说法正确的是( )

A．它是轴对称图形，但不是中心对称图形． B．它是中心对称图形，但不是轴对称图形． C．它既是轴对称图形，又是中心对称图形． D．它既不是轴对称图形，又不是中心对称图形． 答案：B

【课后盘点】

1． 如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对称中心， 过点O的直线分别交AD、BC于E、F，则图中相等的 线段有 对． 答案：5

2． 等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形和圆这五种图形中，

既是轴对称图形又是中心对称图形的图形种数是 ． (第1题) 答案：矩形、正方形和圆

3.（2011重庆，3，4分）下列图形中，是中心对称图形的是 ( )

A． B． C． D．

【答案】B

4.（2011江苏南通，2，2分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

【答案】C

5.如图，是由两个半圆组成的图形，已知点B是AC的中点，画出此图形关于点B成中心对 称的图形．

2

答案：所画图形由两部分组成：一是以BC为直径的半圆（在线段BC的下方：，二是以 AC为直径的半圆（在线段AC的下方部分）.

6．如图，过□ABCD的对角线的交点O作两条互相垂直的直线EF、GH、分别与□ABCD的四条边交于E、F和G、H，求证：四边形EGFH为菱形.

解析：.由OD=OB,?HOD??GOB,?HDO??GBO,所以△BGO≌△DHO,所以OH=OG,同理

OE=OF,所以四边形EGFH是平行四边形，又因为EF?HG，所以四边形EGFH为菱形.

7．如图，△ABC中A(?2，3)，B(?31)，，C(?1，2)． （1）将△ABC向右平移4个单位长度，

画出平移后的△A1B1C1；

（2）画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；

（3）将△ABC绕原点O旋转180，画出旋转后的△A3B3C3； （4）在△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3中，

△______与△______成轴对称，对称轴是______；

△______与△______成中心对称，对称中心的坐标是______． .解析：（1）（2）（3）图形如图所示

（4）△A2B2C2与与△A3B3C3成轴对称，对称轴是y轴；△ABC与△A3B3C3成中心对称，对称

中心是（0,0）

8．在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称此图形是旋转对称图形．转动的这个角称为此图形的一个旋转角．例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90°． （1）判断下列命题的真假（在括号内填上“真”或“假”） ①等腰梯形是旋转对称图形,它有一个旋转角为180°．（ ） ②矩形是旋转对称图形,它有一个旋转角为180°．（ ）

（2）下列图形中是旋转对称图形,且有一个旋转角为120°的是 （填序号）： ①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形．

（3）写出两个多边形,它们都是旋转对称图形,都有一个旋转角为72°，且分别满足下列条件： ①是轴对称图形，但不是中心对称图形： ． ②既是轴对称图形，又是中心对称图形： ． 答案（1）①假，②真；（2）①，③；（3）①正五边形，②正十边形.

9．如图，把矩形OABC放置在直角坐标系中，OA=6，OC=8，若将矩形折叠，使点B与O 重合，得到折痕EF．

(1)可以通过 ，使四边形AEFO变到四边形CFEB的位置（填“平移”、“旋转”或“翻转”）；

(2)求点E的坐标；

y(3)若直线l把矩形OABC的面积分成相等的两部分，则直线l必经过的点的

CB坐标是什么? F解析：（1）旋转，（2）连接OE，EF是OB的垂直平分线，AE=BE，设AE=x，

则

EoAxOE?BE?8?x，在Rt△AOE中由勾股定理，(8?x)2?x2?62，解得

x?

74，所以A(6，74),(2)直线l必定经过OB的中点，其坐标为（3,4）

3

中心对称（第二课时）

【目标导航】

1.了解中心对称与中心对称图形的联系与区别.

2.了解图形之间的平移、轴对称、旋转等变换，并运用它们解决简单的问题. 3.利用平移、轴对称、?旋转等图形变换中的一种或它们的组合设计图案． 【复习引领】

中心对称的性质：

1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． 2．关于中心对称的两个图形是全等图形． 中心对称与中心对称图形的联系与区别. 【要点梳理】

关于原点对称的点的坐标特征：

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点为

P?(?x,?y)．

例1(1) 已知点A(2a?1，3)与点B(2，b＋1)关于原点成中心对称，求 a和b的值； (2)已知点P(a?1,a2?9)在x轴的负半轴上，求P点关于原点对称的点的坐标；

(3)若点P(?1?2a,2a?4)关于原点对称的点在第一象限内，2a?1??2，b?1??3解得a??1则a的整数值是多少?解析：（1）

2，b??4 （2）根据题意知，a2?9?0且a?1?0，所以a??3，P点的坐标为（-4,0）它关于原点对称的店的坐标为（4,0）

（3）根据题意P点在第三象限，所以???1?2a?012a?4?0，解得??a?2?2

例2如图，把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形，请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上互不重叠） (1)既是中心对称又是轴对称的四边形．（不是正方形） (2)是中心对称但不是轴对称的四边形． (3)既不是中心对称也不是轴对称的四边形． (4)旋转90°能与本身重合的旋转对称图形．（不是轴对称图形）

答案：（1）拼成矩形，（2）拼成平行四边形，（3）答案不唯一，（4）拼成一个矩形

例3 如图,把正方形ACFG与Rt△ACB按如图(甲)所示重叠在一起,其中AC=2, ∠BAC=60°,若把Rt△ACB绕直角顶点C按顺时针方向旋转,使斜边AB恰好经过正方形ACFG的顶点F,得△A?B?C?，AB分别与A?C,A?B?相交于D、E,如图(乙)所示. ①△ACB至少旋转多少度才能得到△A?B?C??说明理由. ②求△ACB与△A?B?C?的重叠部分(即四边形CDEF)的面积.

解析：（1）△A?CF是等边三角形，∠A?CF?60?,所以旋转角?ACA??30?

(2)AC=2，∠BAC=60°,所以∠B=30°，AB=4，由勾股定理，BC=23，又∠ACD=30°，所以AB⊥CD，所以CD=3，A?D?2?3,△A?DE∽△ABC，S1?ABC?2?2?23?23

所以S?A?DE(2?3)273S?2 S?A?DE??12而S?A?CF?3,所以 ?ABC22四边形CDEF的面积3?73?1252?6?23

例4如图，在6?6的方格纸中，给出如下三种变换：P变换，Q变换，R变换．

将图形F沿x轴向右平移1格得图形F1，称为作1次

P变换； 将图形F沿y轴翻折得图形F2，称为作1次Q变换；

将图形F绕坐标原点顺时针旋转90得图形F3，称为作1次R变换．

规定：PQ变换表示先作1次Q变换，再作1次P变换；QP变换表示先作1次P变换，再依1次Q变换；Rn变换表示作n次R变换．解答下列问题：

(1) 作R4变换相当于至少作

次Q变换；

(2) 请在图2中画出图形F作R2007变换后得到的图形F4；

(3) PQ变换与QP变换是否是相同的变换？在图3中画出PQ变换后得到的图形F5，在图4中画出QP变换后得到的图形F6．

y y y y Q变换 P变换 4

R变换 x O x O x O x 图1

图2

图3

图4