17-18版：3.2.1 第2课时 对数的运算及换底公式

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∴x＝logk2，y＝logk3，z＝logk5，

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由x＋y＋z＝1，得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，

∴k＝30，∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56. x

【探究4】 已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，求log2y的值． 解 由lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，得xy＝(x－2y)2， xx

即x2－5xy＋4y2＝0，化为(y)2－5y＋4＝0， xx解得y＝1或y＝4. 又x>0，y>0，x－2y>0， xx

∴y>2，∴y＝4，

x

∴log2y＝log24＝log216＝4.

规律方法 (1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化． (2)对于这类连等式可令其等于k(k＞0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式就可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.

课堂达标

1．lg 8＋3lg 5的值为________．

解析 lg 8＋3lg 5＝lg 8＋lg 53＝lg 8＋lg 125 ＝lg (8×125)＝lg 1 000＝3. 答案 3

a

2．已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两根，则(lg b)2的值是________．

1a2

解析 lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝2，(lg b)＝(lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b1＝22－4×2＝2. 答案 2

3．若logab·log3a＝4，则b的值为________． lg blg alg b解析 logab·log3a＝lg a·lg 3＝lg 3＝4， 所以lg b＝4lg 3＝lg 34，所以b＝34＝81. 答案 81

11

4．已知2＝5＝10，则m＋n＝________.

m

n

解析 因为m＝log210，n＝log510， 11

所以m＋n＝log102＋log105＝lg 10＝1. 答案 1

7

5．计算：(1)lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18；

3(2)

lg 27＋lg 8－31g 10

. lg 1.2

7

解 (1)方法一 lg 14－2lg 3＋lg 7－lg 18 ＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2) ＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2 ＝0.

7

方法二 lg 14－2lg 3＋lg 7－lg 18 7

＝lg 14－lg(3)2＋lg 7－lg 18 14×7＝lg7＝lg 1＝0.

2

?3?×18

lg 27＋lg 8－3lg 10(2) lg 1.2

3

2?lg 3＋2lg 2－1?＝ lg 3＋2lg 2－13＝2.

课堂小结

1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简． 2．运用对数的运算性质应注意：

(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质． (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用． (3)在运算过程中避免出现以下错误：

①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN， ③logaM±logaN＝loga(M±N).