十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题11 平面解析几何解答题(新课标Ⅰ卷)(解析版)

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）当MF＝2FN时，求直线l的方程；

（3）若直线l上存在点P满足PM·PN＝PF2，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上．

x2y2【答案】（1）（2）5x?2y?5?0；（3）见解析. ??1；

43【解析】

（1）设椭圆的截距为2c，由题意，b＝3，

a2

由点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c＝?c，

c

又a2＝b2+c2，联立解得a＝2，c＝1．

x2y2∴椭圆C的标准方程为??1；

43（2）当直线l与轴重合时，M（﹣2，0），N（2，0），此时MF＝3NF，不合题意； 当直线l与轴不重合时，设直线l的方程为＝my+1，M（1，y1），N（2，y2），

?x?my?1?联立?x2y2，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0．△＝36m2+36（m2+4）＞0．

?1??3?46m9yy?? ①，②，由MF＝2FN，得y1＝﹣2y2③， 12223m?43m?412m6m,y?联立①③得，y1??， 23m2?43m2?4y1?y2??代入②得，?72m2?3m2?4?2??3m?4，解得m??5．∴直线方程为5x?2y?5?0；

2925（3）当直线l的斜率为0时，则M（2，0），N（﹣2，0），设P（0，y0）， 则PM?PN＝|（0﹣2）（0+2）|，∵点P在椭圆外，∴0﹣2，0+2同号，

又PF2??x0?1?,?2?x0?2??x0?2???x0?1?，解得x0?25． 2当直线l的斜率不为0时，由（2）知，y1?y2??6m9,yy??， 123m2?43m2?4PM?1?m2y1?y0,PN?1?m2y2?y0,PF?1?m2y0．

∵点P在椭圆外，∴y1﹣y0，y2﹣y0同号， ∴PM?PN＝（1+m2）（y1﹣y0）（y2﹣y0）＝1?m?2???yy122??y0?y1?y2??y0?

6m9??222??1?m2??y0?2?2???1?m?y0，

3m?43m?4??整理得y0?355，代入直线方程得x0?．∴点P在定直线x?上． 2m223．已知抛物线C：y2?4x的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，O是坐标原点． （1）若直线l过点F且AB?8，求直线l的方程；

（2）已知点E(?2,0)，若直线l不与坐标轴垂直，且?AEO??BEO，证明：直线l过定点． 【答案】（1）y?x?1或y??x?1；（2）(2,0). 【解析】

解：（1）法一：焦点F(1,0)，

当直线l斜率不存在时，方程为x?1，与抛物线的交点坐标分别为(1,2)，(1,?2)， 此时AB?4，不符合题意，故直线的斜率存在．

2设直线l方程为y?k(x?1)与y?4x联立得kx?2k?2x?k?0，

22?2?2当k?0时，方程只有一根，不符合题意，故k?0.x?x?12抛物线的准线方程为x??1，

由抛物线的定义得|AB|?|AF|?|BF|??x1?1???x2?1??解得k??1，

所以l方程为y?x?1或y??x?1.

2?k2?2?k2，

2?k2?2?k2?2?8，

法二：焦点F(1,0)，显然直线l不垂直于x轴，设直线l方程为x?my?1,

22与y?4x联立得y?4my?4?0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，y1?y2?4m，y1y2?4.

|AB|??x1?x2???y1?y2?22?1?m2?y1?y2?2?1?m2?y1?y2?2?4y1y2?4?1?m2?，

由AB?8，解得m??1， 所以l方程为y?x?1或y??x?1. （2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

设直线l方程为x?my?b(m?0)与y?4x联立得：y?4my?4b?0，

22可得y1?y2?4m，y1y2??4b. 由?AEO??BEO得kEA?kEB，即

y1y??2. x1?2x2?2整理得y1x2?2y1?x1y2?2y2?0，即y1(my2?b)?2y1?(my1?b)y2?2y2?0， 整理得2my1y2?(b?2)(y1?y2)?0， 即?8bm?4(b?2)m?0，即b?2. 故直线l方程为x?my?2过定点(2,0).

x2y24．已知椭圆2?2?1(a?b?0)，A?2,0?是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，点C在第一象

abuuuruuuruuuruuuruuuruuur限，且AC?BC?0，|OC?OB|?2|AB?BC|．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设P、Q为椭圆上不重合的两点且异于A、B，若?PCQ的平分线总是垂直于x轴，问是否存在实数?，使得PQ??AB？若不存在，请说明理由；若存在，求?取得最大值时的PQ的长．

uuuruuurx23y2230 【答案】(1) ??1 (2)

443【解析】

（1）∵AC?BC?0，∴?ACB?90?，

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur∵|OC?OB|?2|AB?BC|．即|BC|?2|AC|，

∴△AOC是等腰直角三角形， ∵A?2,0?，∴C?1,1?， 而点C在椭圆上，∴

4112b???1，，∴， a?2a2b23x23y2∴所求椭圆方程为??1．

44（2）对于椭圆上两点P，Q， ∵?PCQ的平分线总是垂直于x轴， ∴PC与CQ所在直线关于x?1对称，

kPC?k，则kCQ??k，

∵C?1,1?，∴PC的直线方程为y?k?x?1??1，①

QC的直线方程为y??k?x?1??1，②

x23y2222将①代入??1，得?1?3k?x?6k?k?1?x?3k?6k?1?0，③

44∵C?1,1?在椭圆上，∴x?1是方程③的一个根，

3k2?6k?1∴xP?，

1?3k23k2?6k?1以?k替换k，得到xQ?． 23k?1∴kPQ?k?xP?xQ??2kxP?xQ?1， 3∵?ACB?90o，A?2,0?，C?1,1?，弦BC过椭圆的中心O， ∴A?2,0?，B??1,?1?，∴kAB?∴kPQ?kAB，∴PQ∥AB， ∴存在实数?，使得PQ??AB，

1， 3uuuruuur