十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题11 平面解析几何解答题(新课标Ⅰ卷)(解析版)

∴圆C的圆心坐标为（0，4），半径为4．

设M（，y），则，．

由题意可得：．

即（2﹣）+（y﹣4）（2﹣y）＝0． 整理得：（﹣1）2+（y﹣3）2＝2．

∴M的轨迹方程是（﹣1）2+（y﹣3）2＝2． （2）由（1）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，由于|OP|＝|OM|，

故O在线段PM的垂直平分线上， 又P在圆N上， 从而ON⊥PM． ∵ON＝3， ∴直线l的斜率为

．

为半径的圆，

∴直线PM的方程为，即+3y﹣8＝0．

则O到直线l的距离为．

又N到l的距离为，

∴|PM|．

∴．

6．【2013年新课标1文科21】已知圆M：（+1）2+y2＝1，圆N：（﹣1）2+y2＝9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C． （Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|． 【解答】解：（I）由圆M：（+1）2+y2＝1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（﹣1）2+y2＝9，圆心N（1，0），半径3．

设动圆的半径为R，

∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|＝R+1+（3﹣R）＝4，

而|NM|＝2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆， ∴a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3． ∴曲线C的方程为

（≠﹣2）．

（II）设曲线C上任意一点P（，y），

由于|PM|﹣|PN|＝2R﹣2≤3﹣1＝2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R＝2时，其半径最大，其方程为（﹣2）2+y2＝4．

①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|

．

②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与轴不平行， 设l与轴的交点为Q，则

，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y＝（+4），

由l于M相切可得：，解得．

当时，联立

，得到72+8﹣8＝0．

∴，．

∴|AB|

由于对称性可知：当时，也有|AB|．

综上可知：|AB|或．

7．【2012年新课标1文科20】设抛物线C：2＝2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，

FA为半径的圆F交l于B，D两点； （1）若∠BFD＝90°，△ABD的面积为

，求p的值及圆F的方程；

（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．

【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|＝2p 点A到准线l的距离∵△ABD的面积S△ABD

，

，

∴

解得p＝2，所以F坐标为（0，1）， ∴圆F的方程为2+（y﹣1）2＝8． （2）由题设

，则

，

，

∵A，B，F三点在同一直线m上，

又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称． 由点A，B关于点F对称得：

得：，直线，

切点

直线

坐标原点到m，n距离的比值为．

8．【2011年新课标1文科20】在平面直角坐标系Oy中，曲线y＝2﹣6+1与坐标轴的交点都在圆C上． （Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）若圆C与直线﹣y+a＝0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．

【解答】解：（Ⅰ）法一：曲线y＝2﹣6+1与y轴的交点为（0，1），与轴的交点为（3+20）．可知圆心在直线＝3上，故可设该圆的圆心C为（3，t），则有32+（t﹣1）2＝（2故圆C的半径为

法二：圆2+y2+D+Ey+F＝0 ＝0，y＝1有1+E+F＝0

y＝0，2﹣6+1＝0与2+D+F＝0是同一方程，故有D＝﹣6，F＝1，E＝﹣2， 即圆方程为2+y2﹣6﹣2y+1＝0

（Ⅱ）设A（1，y1），B（2，y2），其坐标满足方程组

，所以圆C的方程为（﹣3）2+（y﹣1）2＝9．

，0），（3﹣2，

）2+t2，解得t＝1，

，消去y，得到方程22+（2a﹣8）+a2﹣2a+1＝0，由已知可得判别式△＝56﹣

16a﹣4a2＞0．

在此条件下利用根与系数的关系得到1+2＝4﹣a，12

①，

由于OA⊥OB可得12+y1y2＝0，又y1＝1+a，y2＝2+a，所以可得212+a（1+2）+a2＝0② 由①②可得a＝﹣1，满足△＝56﹣16a﹣4a2＞0．故a＝﹣1．

9．【2011年新课标1文科22】如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于的方程2﹣14+mn＝0的两个根． （Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；

（Ⅱ）若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．

【解答】解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中， AD×AB＝mn＝AE×AC， 即

又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE∽△ACB