人教A版高中数学必修四任意角的三角函数教案一新

1.2.1 任意角的三角函数（1）

一、课题：任意角的三角函数（1）

二、教学目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；

2.已知角?终边上一点，会求角?的各三角函数值； 3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。

三、教学重、难点：根据定义求三角函数值。 四、教学过程：

（一）复习：初中锐角的三角函数是如何定义的？

在Rt?ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正

切依次为sinA?aba,cosA?,tanA? ． ccb角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。

（二）新课讲解： 1．三角函数定义

?终边上任意一点P（除了原点）在直角坐标系中，设?是一个任意角，的坐标为(x,y)，

x2?y2?0)，那么

yy（1）比值叫做?的正弦，记作sin?，即sin??；

rrxx（2）比值叫做?的余弦，记作cos?，即cos??；

rryy（3）比值叫做?的正切，记作tan?，即tan??；

xxxx（4）比值叫做?的余切，记作cot?，即cot??；

yyrr（5）比值叫做?的正割，记作sec?，即sec??；

xxrr（6）比值叫做?的余割，记作csc?，即csc??．

yy说明：①?的始边与x轴的非负半轴重合，?的终边没有表明?一定是正角或负角，以及?的大小，只表明与?的终边相同的角所在的位置；

②根据相似三角形的知识，对于确定的角?，六个比值不以点P(x,y)在?的终边上的

它与原点的距离为r(r?|x|?|y|?位置的改变而改变大小； ③当??22?2?k?(k?Z)时，?的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于0，xyr??与与sec??无意义；同理，当??k?(k?Z)时，coyyxx??所以tancsc??r无意义； yxryxyr、、、、、分别是一个

yyrrxx④除以上两种情况外，对于确定的值?，比值

确定的实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为

函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数。 2．三角函数的定义域、值域

函 数 定 义 域 值 域 y?sin? y?cos? R R {?|??[?1,1] [?1,1] y?tan? ?2?k?,k?Z} R 3．例题分析 例1 已知角?的终边经过点P(2,?3)，求?的六个函数制值。

解：因为x?2,y??3，所以r?22?(?3)2?13，于是

y?3313x2213；cos???； ????r13r131313x2y3tan????； cot????；

y3x2sin??sec??r13r13?； csc????． x2y3例2 求下列各角的六个三角函数值：（1）0；（2）?；（3）解：（1）因为当??0时，x?r，y?0，所以 sin0?0， cos0?1， tan0?0， cot0不存在， sec0?1， csc0不存在。

（2）因为当???时，x??r，y?0，所以

3?． 2sin??0， cos???1， tan??0， cot?不存在， sec???1， csc?不存在。

3?（3）因为当??时，x?0，y??r，所以

23?3?sin??1， cos?0，

223?3?不存在， cottan?0， 223?3?不存在， cscsec??1． 22例3 已知角?的终边过点(a,2a)(a?0)，求?的六个三角函数值。

解：因为过点(a,2a)(a?0)，所以r?当a?0时，sin?? co?s?5|a|， x?a,y?2a

y2a2a25； ???r55|a|5a15xa5a；tan??2;cot??;sec??5;csc??； ??22r55ay2a2a25当a?0时，； sin??????r55|a|?5a

cos??xa5a???r?5a515tan??2;cot??;sec???5;csc???．

22；

4．三角函数的符号

由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：

y对于第一、二象限为正（y?0,r?0），对于第三、四象限为负（y?0,r?0）； rx②余弦值对于第一、四象限为正（x?0,r?0），对于第二、三象限为负（x?0,r?0）；

ry③正切值对于第一、三象限为正（x,y同号），对于第二、四象限为负（x,y异号）．

x①正弦值

说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。 5．诱导公式

由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。 即有：sin(??2k?)?sin?，

cos(??2k?)?cos?，其中k?Z． tan(??2k?)?tan?，

（练习）确定下列三角函数值的符号： （1）cos250；（2）sin(??4（3）tan(?672)；（4）tan)；

11?． 3五、小结：1．任意角的三角函数的定义； 2．三角函数的定义域、值域；

3．三角函数的符号及诱导公式。

六、作业： 补充：已知点P(3r,-4r)(r?0)，在角?的终边上，求sin?、cos?、tan?的值。