机械振动学MATLAB实验指导书

实验名称 单自由度系统数值模拟

一、实验目的、要求

1．熟悉单自由度系统强迫振动特性和求解方法； 2．掌握强迫振动系统的计算机模拟仿真方法。 二、实验设备及仪器 1. 计算机 2. Matlab软件 3. c语言 三、实验步骤

1．利用如右图所示的受力分析，得出单自由度系统强迫振动的运动方程。 物体沿水平方向振动，取物体无扰力下的静平衡位置为坐标原点，水平向右为x轴正向，建立如图所示的坐标系。受力情况如图，其激励力为：F?F0cos?t，其中， F0称为激励力的力幅，为常值。 cxkmxO?为激励频率，为常值。

根据牛顿第二定律，得到单自由度系统强迫振动的运动方程：

? m??x?F0cos?t?kx?cxkxm·cxF0cos?t2．对方程进行求解。 km令?n?，X0?F0k，cc?2km?2m?n，??ccc?c2km?c2m?n

则原方程可以变形为：

22?????nx?2??nxx??nX0cos?t

这是一个非齐次二阶常系数微分方程，根据微分方程理论，它的解由两部分组成

x?x1?x2

2???nx?2??nxx?0的解，简称齐次解，当??1时，由其中，x1代表齐次微分方程??前面的单自由度阻尼自由振动可得：

x1?e???nt?B1cos?dt?B2sin?dt??1??2Ae???ntcos(?dt??)

其中：?d???n，称为衰减振动的固有频率。

A??x????nx0??0???nx0?1x2， ??tanx0??0??dx0?d??2由于激励为简谐的，根据微分方程的理论，上述微分方程有如下形式的特解： x2?Xcos??t???

其中的X,?可以如下得到：

?2??X?sin??t??? 将x2?Xcos??t??? x2??x2??X?cos??t???

22???n代入到微分方程??x?2??nxx??nAcos?t中，

?X?cos??t????2??nX?sin??t?????nXcos??t?????nAcos?t

222??2n??2?Xcos??t????2??nX?sin??t?????nAcos?t

2222X???n????cos?tcos??sin?tsin???2??n?sin?tcos??cos?tsin????nAcos?t??要想等式成立，等式两边对应的cos?t和sin?t系数应该相等（cos?t和sin?t正交） ?X???2??2?cos??2???sin????2Ann??n? ?22????sin??2??n?cos???0?X???n??可以采用如下写法：

?nAcos?t??nAcos????t?????????nA??cos??t???cos??sin??t???sin???222

??222n??2?Xcos??t????2??2nX?sin??t?????nA??cos??t???cos??sin??t???sin?????nAcos?cos??t?????nAsin?sin??t???

??从而：

2n??22?X??nAcos?2

2??nX???nAsin?

X0?X??222???1?????2????1???X?X0cos????2?????1?2??X?X0sin???tan2?1??????2X1,?,Xn

则系统的稳态解：x2??2????1?X0cos??t?tan2??1??????

?1???22??2???2微分方程的通解为： x?Ae???ntcos(?dt??)?X0cos??t???

?1???22??2???2X02??X????x???x0n0??A?x2?22??01????2???????d??其中：?， ?2???0???nx0???1?1x??tan2???tan?1???x??d0???2

右端第一项是齐次解，代表衰减的自由振动；第二项是特解，代表与激励力同频率的简谐运动。自由振动，在运动开始后很短的时间内迅速消失，通常可以不加考虑。强迫振动却不因阻尼而衰减，它的振幅x与相角?也与运动的初始条件无关，对于一定的振动系统，x与?是激励力的幅值F0和激励频率?的函数，只要F0和?保持不变，x与?是常值。强

迫振动是稳态振动，通常称为稳态响应，特解x2也称为稳态解。在自由振动消失后，x2代表物体的全部运动。 令M?XX0，称为系统的放大因子

1M? ??2???1???22?23. 利用计算机程序MATLAB或者C语言编写程序对单自由度系统强迫振动的特性进行模拟仿真。

4．取??0.1,0.2,0.3,0.5,0.7,1.0时，绘制单自由度系统放大因子M与频率比关系的响应曲线。

四、实验结果与分析： 1.程序如下： clear

r=0:0.1:4;

for x=0.1:0.1:1;

a=sqrt((1-r.^2).^2+(2*x*r).^2); M=a.\\1;

plot(r,M),hold on;

end

title('单自由度系统放大因子M与频率比r关系的响应曲线 '); xlabel('r轴'); ylabel('M轴'); grid on axis([0 4 0 5]);

text(1.03,4.5,'\\leftarrow0.1'); text(1,2.5,'\\leftarrow0.2'); text(1.083,1.5,'\\leftarrow0.3'); text(1,1,'\\leftarrow0.5'); text(1,0.732,'\\leftarrow0.7'); text(1,0.5,'\\leftarrow1.0');

2.图形如下：

五、实验心得

通过本次上机实验我熟悉了单自由度系统强迫振动特性和求解方法；掌握了强迫振动系统的计算机模拟仿真方法。