精选全国通用2018高考数学大一轮复习第八篇平面解析几何第3节椭圆习题理

第3节 椭 圆

【选题明细表】 知识点、方法 椭圆的定义与标准方程 椭圆的几何性质 直线与椭圆的位置关系 基础对点练(时间:30分钟) 1.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF2|= ,则cos∠F1PF2等于( D )

(A) (B) (C) (D) 解析:|PF2|= ,|PF1|+|PF2|=4 , 所以|PF1|=3 , 所以

-

cos∠F1PF2== .故选

题号 1,2 2,3,4,5,6,7,8, 11,12,13 9,10,14 D.

2.设椭圆C: + =1(a>b>0)的左焦点为(-2,0),离心率为,则C的标准方程为( A )

(A)+=1

(B)+=1

(C) + =1 (D) + =1 解析:由题知c=2,e= = , 所以a=4,b=16-4=12, 椭圆C

的标准方程为 + =1.故选

2

A.

3.(2016·福州三中模拟)椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,过F2作直线l垂直于

x轴,交椭圆C于A,B两点,若△F1AB为等腰直角三角形,且∠AF1B=90°,则椭圆C的离心率为( A ) (A) -1 (B)1- (C)2- (D) 解析:因为AF2⊥x轴, 所以

A(c, ),

2c= ,

所以2ac=b=a-c,

2

所以2e=1-e, 得e= -1.故选A.

4.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则 · 的

222

最大值为( C )

(A)2 (B)3 (C)6

(D)8

解析:设P(x,y),向量 =(x,y), =(x+1,y), · =x+y+x, 又y

2

22

- =,

代入得 · =x+x+3,

所以当x=2时,有最大值6.故选C. 5.(2016·广西来宾高中模拟)椭圆

C: + =1

2

的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上,且直线

PA2的斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1斜率的取值范围是( A ) (A)[ , ] (B)[ , ] (C)[ ,1] (D)[ ,1]

解析:设P(x,y),直线PA1,PA2的斜率分别为k1,k2, 则k1k2= ·==

- - -

-

=- , 所以k1=-×, 因为k2∈[-2,-1], 所以k1∈[ , ].故选A.

6.椭圆 + =1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|

成等比数列,则此椭圆的离心率为( B ) (A) (B)

(C) (D) -2

解析:本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用. 由椭圆的性质可知|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c, 又|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,

故(a-c)(a+c)=(2c),可得 = =e(舍去负值).故应选B.

2

7.直线y=- x与椭圆C: + =1(a>b>0)交于A,B两点,以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点,则椭圆C的离心率为( C ) (A)(B)

-

(C) -1 (D)4-2

解析:由题意可得|OF2|=|OA|=|OB|=|OF1|=c, 由y=- x,得∠AOF2= , ∠AOF1= . 所以|AF2|= c,|AF1|=c.

由椭圆定义可知,|AF1|+|AF2|=2a, 所以c+ c=2a, 所以e== -1.故选C.

8.(2016·陕西安康联考)椭圆mx+y=1(m>1)的短轴长为m,则m=

2

2

.

解析:由题意得2 =m,m=2. 答案:2 9.已知椭圆

2

C:+y=1,斜率为

1的直线l与椭圆C交于A,B两点,且|AB|=

,则直线 l的方

程为.

解析:设直线方程为y=x+b, 联立

2

可得4x+6bx+3b-3=0, 所以

-

x1+x2=- ,x1x2= ,

2

-

所以 · - - = ,

所以b=±1,

直线l为y=x±1. 答案:y=x±1

10. 导学号 18702441如图所示,已知椭圆 + =1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.

(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;

(2)若椭圆的焦距为2,且 =2 ,求椭圆的方程. 解:(1)因为|AF1|=|AF2|=a, 且∠F1AF2=90°,|F1F2|=2c,

22

所以2a=4c,

所以a= c,所以e= = . (2)由题知A(0,b),F2(1,0),设B(x,y), 由 =2 , 解得x=,y=-, 代入 + =1,得 + =1,

即 + =1, 解得a=3,所以b=a-c=2. 所以椭圆方程为 + =1. 能力提升练(时间:15分钟)

11.导学号 18702442已知五个数2,a,m,b,8构成一个等比数列,则圆锥曲线 + =1的离心率为( C ) (A)(B)

2

2

2

2

(C)或 (D)或

解析:由题意得2×8=ab=m, 所以m=±4,

当m=-4时圆锥曲线表示双曲线, 22

a=2,b=4,

所以c=6,所以e= ;

当m=4时圆锥曲线表示椭圆, 22

a=4,b=2,

所以c=2,所以e= .故选C.

12.椭圆 + =122

2

的离心率为e,点(1,e)是圆x+y-4x-4y+4=0的一条弦的中点,则此弦所在直

22

线的方程是( B )

(A)3x+2y-4=0 (B)4x+6y-7=0 (C)3x-2y-2=0 (D)4x-6y-1=0