数学物理方程第三版答案谷超豪

2

???x??u?1??1????2?x?h??x?a??? x??u?

?h?0常数? ?1??2 h??t? 2 2

的通解可以写成 u?

f?x?at??g?x?at? h?x

其中f,g为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题: t?0:u???x?, ?u?t ???x?.

解：令?h?x?u?v则 ?h?x? ?u?x ?u? ?v?x ,?h?x? 2 ?u ?v??

??h?x??u?? ?x?x?? ??x [(h?x) 2

?u?x ??(u? ?v?x 2

)?(h?x) ?u?x ?(h?x) 2

?u?x

?(h?x)(u? ?v?x

2 2 )

又 ?h?x?代入原方程，得 ?u?t 2 ?

?v?t 2 2

?h?x? ?v?x 22 ?v?x 2 2 ? 1a 2

?h?x? ?v?t 2 2

即 ? 1?va 2 2 ?t 2

由波动方程通解表达式得 v?x,t??f?x?at??g?x?at? f?x?at??g?x?at?

所以 u?为原方程的通解。 由初始条件得 ??x????x?? ?h?x?

1h?x1h?x

?f?x??g?x?? (1) ??af

/

?x??ag/?x??

【篇二：数学物理方程课程教学大纲】

（一）课程代码：08130022

（二）课程英语名称：mathematics and physical equation (三) 开课对象：信息与计算科学专业本科生（四）课程性质：

数学物理方程指从物理学及其他各门自然科学、技术科学所产生的偏微分(有时也包括积分方程、微分积分方程等)。它们反映了有关的未知变量关于时间的导数和与空间变量的导数之间的制约关系。连续介质力学、电磁学、量子力学等方面的基本方程都属于数学物理方程的范围。

（五）教学目的：

通过本课程的教学使学生获得有关偏微分方程的一些基本概念、基本方法，掌握三个典型方程定解问题的解法，为后继课程进一步扩大数学知识面提供了必要的数学基础。（六）教学内容：

本课程主要包括波动方程、传导方程、调和方程、二阶线性偏微分方程的分类、一阶偏微分方程组等几个部分。通过教学的各个环节使学生达到各章中所提的基本要求。习题课是重要的教学环节，教师要予以重视。

（七）学时数、学分数及学时数具体分配 学时数：72学时 学分数：4学分

(八)教学方式:以教师讲解为主的课堂教学方式 (九)考核方式和成绩记载说明:

考核方式为考试。严格考核学生出勤情况，达到学记管理的旷课量取消考试资格。综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩占30％，期末成绩占70％。

二．讲授大纲与各章的基本要求 第一章波动方程 教学要点：

通过本章的教学使学生初步了解数理方程方法及特点，掌握方程的解法，及所表示的物理意义。

1． 使学生了解波动方程的导出方法。 2． 领会定解条件及意义。 3． 熟练掌握初边值问题的分离变量法解方程。 4． 能解高维波动方程的柯西问题。 5． 明确波的传播与衰减的意义。

6． 用能量不等式确定方程解的唯一性和稳定性。 教学时数：20学时 教学内容：

第一节 方程的导出、定解条件 第二节 达朗贝尔公式、波的传播 第三节 初边值问题的分离变量法 第四节 高维波动方程的柯西问题 第五节 波的传导与衰减

第六节 能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性 考核要求： 第一节 方程的导出、定解条件（领会与应用） 第二节 达朗贝尔公式、波的传播 （领会）

第三节 初边值问题的分离变量法 （领会与应用） 第四节 高维波动方程的柯西问题 （领会与应用） 第五节 波的传导与衰减 （领会） 第六节 能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性 （领会与应用） 第二章热传导方程 教学要点：

通过本章的教学使学生初步了解通过物理原理建立热传导方程，能用分离变量法解初边值问题，用傅立叶变换对柯西问题求解，用极值原理确定定解问题解的唯一性和稳定性。 教学时数：15学时 教学内容：

第一节 热传导方程及其定解问题的导出 第二节 初边值问题的分离变量法 第三节 柯西问题

第四节 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性考核要求：

第一节 热传导方程及其定解问题的导出 （领会） 第二节 初边值问题的分离变量法 （领会与应用） 第三节 柯西问题 （领会与应用） 第四节 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 （领会与应用） 第三章调和方程 教学要点：

通过本章的教学使学生能够建立调和方程，明确定解条件，熟练掌握格林公式及其应用，了解格林函数，及用强极值原理判定第二边值问题解的唯一性。

教学时数：15学时 教学内容：

第一节 建立方程、定解条件 第二节 格林公式及其应用 第三节 格林函数

第四节 强极值原理、第二边值问题解的唯一性 考核要求：

第一节 建立方程、定解条件 （应用） 第二节 格林公式及其应用 （领会与应用） 第三节 格林函数 （领会）

第四节 强极值原理、第二边值问题解的唯一性 （领会与应用） 第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结 教学要点: