河南省2013届高三新课程高考适应性考试（一）数学（理）试题

以BB1的长度为单位长度建立空间直角坐标系.

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则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),M(1,0,0)，C1(2,0,1),B1(0,1,0),A1(0,2,1).设直线CC1与平面AMC1所成角为?，平面AMC1的法向量为n?(x,y,z).????????????????则有CC1?(0,0,1),AM?(1,?2,0),C1M?(?1,0,?1)， ????????n?C1M?0，?x?2y?0，令x?2,得n?(2,1,?2)， ?????????x?z?0.??n?AM?0，?设直线CC1与平面AMC1所成角为?，

??????22则sin??cos?n,CC1???. ……………8分

33（Ⅲ）假设直线A1B1上存在点N，使AN与MC1成角为60?.

?????????设N(0,b,1)，则AN?(0,b?2,1)，MC1?(1,0,1). A1 设其夹角为?，

z N B1 x x C1 所以，cos??1(b?2)?11?1222

y A B C M 1??，

2(b?2)2?1212(b?2)2?1?11，?2(b?2)2?1?2?b?1或b?3（舍去）， 2故N(0,1,1).所以在棱A1B1上存在棱A1B1的中点N，使AN与MC1成角60?.

12分

（20）解：（Ⅰ）在?F1MF2 中,设F1M?r1,F2M?r2,由余弦定理得4c2?r12?r22?2r1r2cos60?，

即4c2?(r1?r2)2?2r1r2?2r1r2cos60?，即4c2?(r1?r2)2?3r1r2，得3r1r2?4b2. 14316又因为S?F1MF2?r1r2sin60??，r1r2?，b2?4，

233又因为2c?4,所以a2?b2?c2?8，

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x2y2所以所求椭圆的方程为??1. ……………5分

84Z|X|X|K]来源学|科|网

（Ⅱ）显然直线AB的斜率k存在，设直线方程为y?kx?m，A(x1,y1),B(x2,y2)，

?y?kx?m,由?2得x2?2(kx?m)2?8，即(2k2?1)x2?4kmx?2m2?8?0， 2?x?2y?82(m2?4)?4km， ??(4km)?4(2k?1)(2m?8)≥0，x1?x2?2,x1x2?2k2?12k?1y?2y2?2由k1?k2?4得，1??4，又y1?kx1?m，y2?kx2?m，

x1x2222则

kx1?m?2kx2?m?2(m?2)(x1?x2)??4，2k??4， x1x2x1x2(m?2)?4km2k2?1?4?m?k?2， 2(m2?4)2k2?12k?那么y?kx?m?y?kx?k?2?y?k(x?1)?2，

则直线AB过定点(?1,?2). ……………10分 因为??(4km)2?4(2k2?1)(2m2?8)≥0，m?k?2， [4k(k?2)]2?4(2k2?1)[2(k?2)2?8]≥04k2(k?2)2?(2k2?1)(2k2?8k)≥0，

2k2(k?2)2?(2k2?1)(k2?4k)≥0，k[2k(k?2)2?(2k2?1)(k?4)]≥0，

，

4k(7k?4)≥0，所以k≥0或k≤?. ……………12分

7（21）解：（Ⅰ）令x?0 得f(0)?2， f'(x)?1?2?3f'(0)x，所以f'(0)??1， x?1?f(x)?ln(x?1)?2x?x2?2， ……………3分

12x2?1， f'(x)??2x?2?x?1x?1由f'(x)?0得?2222，?f(x)的减区间为（?）. ……5分 ?x?,2222（Ⅱ）由题意 ln(x?1)?2x?x2?2≤x2?ax?b， ?b?2≥ln(x?1)?(a?2)x，

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设g(x)?ln(x?1)?(a?2)x， g'(x)?1?(a?2). ……………7分 x?1当a?2≤0时，g'(x)?0恒成立，g(x)无最大值；

当a?2?0时，由g'(x)?0得?1?x?11?1，g'(x)?0得x??1. a?2a?2?g(x)在(?1,?g(x)≤g(?11?1)上为增函数，在(?1,??)上为减函数. a?2a?21?1)?a?1?ln(a?2)，?b?2≥a?1?ln(a?2)， a?2b?3aln(a?2)， ……………10分 ≥?a?2a?2a?21?ln(a?2)aln(a?2)设h(a)?，h'(a)?， ?(a?2)2a?2a?2由h'(a)?0得a?11?2，h'(a)?0得?2?a??2， ee1b?3的最小值为1?e. ……………12分 ?h(a)≥h(?2)?1?e，所以

ea?2（22）证明：（Ⅰ） 如图，∠DEF=180°-（180°-2∠B）-（180°-2∠C）=180°-2∠A．

因此∠A是锐角，

从而?ADF的外心与顶点A在DF的同侧， ∠DOF=2∠A=180°-∠DEF．

A

F O

D C E B

因此D，E，F，O四点共圆． ……………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠DEO=∠DFO=∠FDO=∠FEO，

即O在∠DEF的平分线上． ……………10分

（23）解:（Ⅰ）由??6sin?得?2?6?sin?，化为直角坐标方程为x2?y2?6y，

即x2?(y?3)2?9. ……………4分 （Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2?2(cos??sin?)t?7?0.

由??(2cos??2sin?)2?4?7?0，故可设t1,t2是上述方程的两根， ?t?t??2(cos??sin?),所以?12又直线l过点(1,2)，故结合t的几何意义得

t?t??7,?12 - 11 -

|PA|?|PB|=|t1|?|t2|?|t1?t2|?(t1?t2)2?4t1t2?4(cos??sin?)2?28 ?32?4sin2?≥32?4?27.

所以|PA|?|PB|的最小值为27. ……………10分

?x?1,(x≥2)（24）解：（Ⅰ）f(x)?2|x?2|?x?5??

?3x?9,(x?2)?显然，函数f(x)在区间(??,2)上单调递减，在区间[2,??)上单调递增，

所以函数f(x)的最小值m?f(2)?3. ……………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知m?3，|x?a|?|x?2|≥3恒成立，

由于|x?a|?|x?2|≥|(x?a)?(x?2)|?|a?2|，

等号当且仅当(x?a)(x?2)≤0时成立，故|a?2|≥3，解之得a≥1或

a≤?5.

所以实数a的取值范围为a≥1或a≤?5. ……………10分

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