2019届中考数学系统复习 四边形滚动小专题七与四边形多边形有关的计算与证明练习

滚动小专题(七) 与四边形(多边形)有关的计算与证明

1．已知一个多边形的最小的一个内角是120°，比它稍大的一个内角是125°，以后依次每一个内角比前一个内角多5°，且所有内角的和与最大的内角的度数之比是63∶8，试求这个多边形的边数．

解：设这个多边形的边数为n，则最大内角为120°＋(n－1)·5°，由题意，得 [(n－2)·180°]∶[120°＋(n－1)·5°]＝63∶8， 解得n＝9.

答：这个多边形的边数为9.

2．(2018·大庆)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AB，AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F.

(1)求证：四边形CDEF是平行四边形；

(2)若四边形CDEF的周长是25 cm，AC的长为5 cm，求线段AB的长度．

解：(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，F是BC延长线上的一点， ∴ED是Rt△ABC的中位线． ∴ED∥FC，BC＝2DE. 又∵EF∥DC，

∴四边形CDEF是平行四边形．

(2)∵四边形CDEF是平行四边形，∴DC＝EF. ∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴AB＝2DC.

∴四边形DCFE的周长为AB＋BC.

∵四边形DCFE的周长为25 cm，AC的长5 cm， ∴BC＝25－AB.

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

222

∴AB＝BC＋AC，

222

即AB＝(25－AB)＋5，解得AB＝13. ∴线段AB的长度为13 cm.

3．如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CD到E，使DE＝CD，连接AE.

(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；

(2)连接OE，若∠ABC＝60°，且AD＝DE＝4，求OE的长．

解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD. ∵DE＝CD，∴AB＝DE.

∴四边形ABDE是平行四边形． (2)∵AD＝DE＝4，∴AD＝AB＝4. ∴平行四边形ABCD是菱形．

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∴AB＝BC，AC⊥BD，BO＝BD，∠ABO＝∠ABC.

22又∵∠ABC＝60°，∴∠ABO＝30°.

在Rt△ABO中，AO＝AB·sin∠ABO＝2，BO＝AB·cos∠ABO＝23.∴BD＝43.

∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AE∥BD，AE＝BD＝43. 又∵AC⊥BD，∴AC⊥AE.

在Rt△AOE中，OE＝AE＋AO＝213.

4．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，过E作EF⊥AD于F，连接BF交AE于P，连接PD.

2

2

(1)求证：四边形ABEF是正方形；

(2)如果AB＝4，AD＝7，求tan∠ADP的值 解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠FAB＝∠ABE＝90°，AF∥BE.

∵EF⊥AD，∴∠FAB＝∠ABE＝∠AFE＝90°. ∴四边形ABEF是矩形． ∵AE平分∠BAD，AF∥BE， ∴∠FAE＝∠BAE＝∠AEB. ∴AB＝BE.

∴四边形ABEF是正方形． (2)过点P作PH⊥AD于H. ∵四边形ABEF是正方形，

∴BP＝PF，BA⊥AD，∠PAF＝45°. ∴AB∥PH.

∵AB＝4，∴AH＝PH＝2.

∵AD＝7，∴DH＝AD－AH＝7－2＝5. 在Rt△PHD中，∠PHD＝90°， PH2

∴tan∠ADP＝＝.

HD5

5．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于N，连接BM，DN.

(1)求证：四边形BMDN是菱形； (2)若AB＝2，AD＝4，求MD的长．

解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠A＝90°. ∴∠MDO＝∠NBO. 在△DMO和△BNO中，

∠MDO＝∠NBO，??

?DO＝BO，

??∠MOD＝∠NOB，

∴△DMO≌△BNO(ASA)． ∴OM＝ON. 又∵OB＝OD，

∴四边形BMDN是平行四边形．

又∵MN⊥BD，∴平行四边形BMDN是菱形． (2)∵四边形BMDN是菱形，∴MB＝MD. 设MD长为x，则MB＝DM＝x.

222

在Rt△AMB中，BM＝AM＋AB， 5222

即x＝(4－x)＋2，解得x＝. 25∴MD＝. 2

6．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C，D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E，连接AE.

(1)求证：四边形ODEC是矩形；

(2)当∠ADB＝60°，AD＝23时，求tan∠EAD的值．

解：(1)证明：∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形ODEC是平行四边形． 又∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，即∠DOC＝90°. ∴四边形ODEC是矩形．

(2)过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F. ∵AC⊥BD，∠ADB＝60°，AD＝23， ∴OD＝3，AO＝OC＝3. ∵四边形ODEC是矩形， ∴DE＝OC＝3，∠ODE＝90°.

又∵∠ADO＋∠ODE＋∠EDF＝180°， ∴∠EDF＝30°.

在Rt△DEF中，∠F＝90°，∠EDF＝30°， 133

∴EF＝DE＝.∴DF＝3.

222在Rt△AFE中，∠AFE＝90°， EF3

∴tan∠EAD＝＝＝. AD＋DF37

23＋3

2

7．(2018·广州)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝30°，AB＝BC.

(1)求∠A＋∠C的度数；

(2)连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；

32

(3)若AB＝1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE＝BE＋CE，求点E运动路径的长度．

222

解：(1)在四边形ABCD中，∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∠B＝60°，∠C＝30°， ∴∠A＋∠C＝360°－60°－30°＝270°.

222

(2)结论：DB＝DA＋DC.

理由：如图1，以BD为边向下作等边三角形△BDQ.∵∠ABC＝∠DBQ＝60°， ∴∠ABD＝∠CBQ.

∵AB＝BC，DB＝BQ，∴△ABD≌△CBQ(SAS)． ∴AD＝CQ，∠A＝∠BCQ.

∵∠A＋∠BCD＝∠BCQ＋∠BCD＝270°，

222

∴∠DCQ＝90°.∴DQ＝DC＋CQ. ∵CQ＝DA，DQ＝DB，

222

∴DB＝DA＋DC.

(3)如图2，将△BCE绕点B逆时针旋转60°得到△BAF，连接EF.则CE＝AF，BE＝BF，∠EBF＝60°， ∴△BEF是等边三角形． ∴EF＝BE，∠BFE＝60°.

222222

∵AE＝BE＋CE，∴AE＝EF＋AF. ∴∠AFE＝90°.

∴∠BFA＝∠BFE＋∠AFE＝150°. ∴∠BEC＝150°.

∴动点E在四边形ABCD内部运动，满足∠BEC＝150°，

以BC为边向外作等边△OBC，则点E是在以O为圆心，OB为半径的圆周上运动，运动轨迹为弧BC，∵OB＝BC＝AB

︵60°×π×1π

＝1，则lBC＝＝. 180°3