2019新版高中数学人教A版选修2-3习题：第二章随机变量及其分布 2.3.2 含解析

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4.盒中有2个白球,3个黑球,从中任取3个球,以X表示取到白球的个数,η表示取到黑球的个数.给出下列各项:

①E(X)= ,E(η)= ;②E(X2)=E(η); ③E(η2)=E(X);④D(X)=D(η)=

其中正确的是 .(填上所有正确项的序号) 解析:X的分布列为

X P 0 1 2

E(X)=0

+1 +2

, ,

1 2 3

E(X2)=02

2

+12 +22

2

D(X)=E(X)-(E(X))η的分布列为

= η P E(η)=1

+2 +3

,

E(η2)=12 +22 +32 , D(η)=E(η)-(E(η))答案:①②④

2

2

=

5.某同学向如图的圆形靶投掷飞镖,飞镖落在靶外(环数记为0)的概率为0.1,飞镖落在靶内的各个点是随机的.已知圆形靶中三个圆为同心圆,半径分别为30 cm,20 cm,10 cm,飞镖落在不同区域的环数如图.设这位同学投掷一次得到的环数为随机变量X,求X的分布列、均值和方差.

解:由题意可知,飞镖落在靶内各个区域的概率与它们的面积成正比,而与它们的质量和形状无关.

由圆的半径值可得到三个同心圆的半径比为3∶2∶1,面积比为9∶4∶1,所以8环区域、9环区域、10环区域的面积比为5∶3∶1,则掷得8环、9环、10环的概率分别设为5k,3k,k,根据离散型随机变量分布列的性质有0.1+5k+3k+k=1,解得k=0.1,得到离散型随机变量X的分布列为

X P 0 0.1 8 0.5 9 0.3 10 0.1 最新中小学教案、试题、试卷

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X的均值E(X)=0×0.1+8×0.5+9×0.3+10×0.1=7.7.

D(X)=0.1×(0-7.7)2+0.5×(8-7.7)2+0.3×(9-7.7)2+0.1×(10-7.7)2=7.01.

★6.为了迎战下届奥运会,对甲、乙两名射手进行一次选拔赛.已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.设ξ,η分别表示甲、乙每次击中的环数. (1)求ξ,η的分布列;

(2)求ξ,η的均值与方差,并以此比较甲、乙的射击技术. 解:(1)依据题意知,0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.

∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2, ∴乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2. ∴ξ,η的分布列分别为

ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1

η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2

(2)结合(1)中ξ,η的分布列可得: E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2, E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7,

D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96, D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.

∵E(ξ)>E(η),说明甲平均射中的环数比乙高.

又D(ξ)

降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900 工期延误天数Y 0 2 6 10

历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,求: (1)工期延误天数Y的均值与方差;

(2)在降水量至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率. 解:(1)由已知条件有

P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4, P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2, P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1. 所以Y的分布列为

Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 最新中小学教案、试题、试卷

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于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3,

D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8. 故工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.

(2)由概率的加法公式,P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7,又P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6.

由条件概率,得P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300)=

故在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率是

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