正三棱锥、正四面体、直角四面体的性质

正三棱锥性质

1． 底面是正三角形。

2． 侧面是三个全等的等腰三角形。

3． 顶点在底面的射影是底面三角形的中心（也是重心、垂心、外心、内心）。 4．大用处的四个直角三角形（见图）。

（1）斜高、侧棱、底边的一半构成的直角三角形；（含侧棱与底边夹角）

（2）高、斜高、斜高射影构成的直角三角形；（含侧面与底面夹角） （3）高、侧棱、侧棱射影构成的直角三角形；（含侧棱与底面夹角） （4）斜高射影、侧棱射影、底边的一半构成的直角三角形。

说明：上述直角三角形集中了正三棱锥几乎所有元素。在正三棱锥计算题中，常常取上述直角三角形。其实质是，不仅使空间问题平面化，而且使平面问题三角化，还使已知元素与未知元素集中于一个直角三角形中，利于解出。

正四面体的性质

正四面体的性质：设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的

(1)全面积 S全= 3a2； (2)体积 V=23a； 122a；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相2(3)对棱中点连线段的长 d= 切，则此线段就是该球的直径。)

1(4)相邻两面所成的二面角 ?=arccos

3(5)对棱互相垂直。

1(6)侧棱与底面所成的角为?=arccos

3(7)外接球半径 R= (8)内切球半径 r= 6a； 46a. 12(9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高).

1、侧面高为（a√3)/2 ，高为（a√6）/3

2、内切球半径（a√6）/12，外接球半径（a√6）/4，内切球半径+外接球半径=高 3、与棱相切的球半径（a√2）/4

1

有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.

如图，在直角四面体AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c.则 ①不含直角的底面ABC是锐角三角形；

②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心；

1③体积 V= abc；

6122ab?b2c2?c2a2； ④底面面积S△ABC=2⑤S⑥S⑦

2△BOC

A

O B

H

C

D

=S△BHC·S△ABC；

2

2

2

2

△BOC+S△AOB+S△AOC=S△ABC

1111???; OH2a2b2c212a?b2?c2； ⑧外接球半径 R= 2S?S?BOC?S?AOC?S?ABC⑨内切球半径 r=?AOB

a?b?c正四面体的性质：设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的

(1)全面积 S全= 3a2； (2)体积 V=23a； 122a；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相2(3)对棱中点连线段的长 d= 切，则此线段就是该球的直径。)

1(4)相邻两面所成的二面角 ?=arccos

3(5)对棱互相垂直。

1(6)侧棱与底面所成的角为?=arccos

3(7)外接球半径 R= (8)内切球半径 r= 6a； 46a. 12(9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高).

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