2021高考数学(江苏专用)一轮复习学案：第三章 3.2 导数与函数的单调性 (含解析)

§3.2 导数与函数的单调性

函数的单调性与导数的关系

条件 恒有 f′(x)>0 函数y＝f (x)在区间(a，b)上可导 f′(x)<0 f′(x)＝0

结论 f (x)在(a，b)内单调递增 f (x)在(a，b)内单调递减 f (x)在(a，b)内是常数函数 概念方法微思考

“f (x)在区间(a，b)上是增函数，则f′(x)>0在(a，b)上恒成立”，这种说法是否正确？ 提示 不正确，正确的说法是：

可导函数f (x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任一非空子区间内都不恒为零．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)如果函数f (x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f (x)在此区间内没有单调性．( √ ) (2)如果函数f (x)在某个区间内恒有f′(x)≥0，则f (x)在此区间内单调递增．( × ) (3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f (x)在(a，b)内是减函数．( √ ) 题组二 教材改编

2.如图是函数y＝f (x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )

A．在区间(－2,1)上f (x)是增函数 B．在区间(1,3)上f (x)是减函数 C．在区间(4,5)上f (x)是增函数 D．在区间(3,5)上f (x)是增函数 答案 C

解析 在(4,5)上f′(x)>0恒成立，∴f (x)是增函数． 3．函数f (x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是( ) A．先增后减 C．增函数 答案 D

解析 因为在(0，π)上恒有f′(x)＝－sin x－1<0. 所以f (x)在(0，π)上是减函数，故选D.

4．函数f (x)＝ex－x的单调递增区间是________，单调递减区间是________． 答案 (0，＋∞) (－∞，0)

解析 由f′(x)＝ex－1>0，解得x>0，故其单调递增区间是(0，＋∞)；由f′(x)<0，解得x<0，故其单调递减区间为(－∞，0)．

题组三 易错自纠

13

5．若函数f (x)＝x3－x2＋ax＋4的单调减区间为[－1,4]，则实数a的值为________．

32答案 －4

解析 f′(x)＝x2－3x＋a，且f (x)的单调减区间为[－1,4]，∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1,4]，

∴－1,4是方程f′(x)＝0的两根， 则a＝(－1)×4＝－4.

a2

6．若y＝x＋(a>0)在[2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．

x答案 (0,2]

a2

解析 由y′＝1－2≥0，得x≤－a或x≥a.

x

a2

∴y＝x＋的单调递增区间为(－∞，－a]，[a，＋∞)．

x∵函数在[2，＋∞)上单调递增，

∴[2，＋∞)?[a，＋∞)，∴a≤2.又a>0，∴0

(1)若f (x)在(2,3)上单调，则实数a的取值范围是________________； (2)若f (x)在(2,3)上不单调，则实数a的取值范围是________． 99，＋∞? (2)?3，? 答案 (1)(－∞，3]∪??2??2?解析 由f (x)＝x3－ax2，得 2ax－?. f′(x)＝3x2－2ax＝3x??3?B．先减后增 D．减函数