2019年甘肃省兰州市中考数学试题及参考答案（word解析版）

∴△DEA≌△ACB（AAS） ∴AE＝BC＝2，AC＝DE＝1 ∴AD＝AB＝∵O为AB中点 ∴AO＝∴

AB＝

∵∠DAO＝∠AED＝90° ∴△DAO∽△AED ∴∠ADO＝∠EAD ∴DO∥EA

∴∠OHB＝∠ACB＝90°，即DH⊥BC ∵OB＝OC

∴OH平分∠BOC，即∠BOH＝∵∠FOG＝∠BOH，∠BFG＝∴∠FOG＝∠BFG ∵∠FGO＝∠BGF ∴△FGO∽△BGF ∴

∠BOC ∠BOC

∴FG2＝GO?GB

【总结归纳】本题考查了三角形外心定义，圆的切线判定，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，垂径定理，等腰三角形三线合一，圆周角定理．其中第（2）题证明DO∥EA进而得到DO垂直BC是解题关键．

【模型迁移】

28．（12分）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直

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线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．

（1）求二次函数y＝ax+bx+2的表达式； （2）连接BD，当t＝

时，求△DNB的面积；

2

（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标； （4）当t＝

时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．

【知识考点】二次函数综合题．

【思路分析】（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2即可；

（2）由已知分别求出M（2，0），N（2，1），D（2，3），根据∴△DNB的面积＝△DMB的面积﹣△MNB的面积即可求解；

（3）由已知可得M（2t﹣1，0），设P（2t﹣1，m），根据勾股定理可得PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，再由PB＝PC，得到m与t的关系式：m＝4t﹣5，因为PC⊥PB，则有

?

＝﹣1求出t＝1或t＝2，即可求D点坐标； 时，M（

，0），可知点Q在抛物线对称性x＝

上；过点A作AC的垂线，以

，

（4）当t＝

M为圆心AB为直径构造圆，圆与x＝即可求Q点坐标分别为（

，﹣

的交点分别为Q1与Q2，由AB＝5，可得圆半径AM＝，

）．

），（

【解答过程】解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2， ∴a＝﹣∴y＝﹣

，b＝x2+

， x+2；

（2）C（0，2），

∴BC的直线解析式为y＝﹣当t＝

时，AM＝3，

x+2，

∵AB＝5，

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∴MB＝2，

∴M（2，0），N（2，1），D（2，3），

∴△DNB的面积＝△DMB的面积﹣△MNB的面积＝×2＝2；

（3）∵BM＝5﹣2t， ∴M（2t﹣1，0）， 设P（2t﹣1，m），

∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2， ∵PB＝PC，

∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2， ∴m＝4t﹣5， ∴P（2t﹣1，4t﹣5）， ∵PC⊥PB， ∴

?

＝﹣1

MB×DM﹣

MB×MN＝

×2

∴t＝1或t＝2，

∴M（1，0）或M（3，0）， ∴D（1，3）或D（3，2）； （4）当t＝

时，M（

，0），

上，

的交点分别为Q1与Q2，

∴点Q在抛物线对称性x＝

如图：过点A作AC的垂线，以M为圆心AB为直径构造圆，圆与x＝∵AB＝5， ∴AM＝

，

∵∠AQ1C+∠OAC＝90°，∠OAC+∠MAG＝90°， ∴∠AQ1C＝∠MAG，

又∵∠AQ1C＝∠CGA＝∠MAG， ∴Q1（

，﹣

），

∵Q1与Q2关于x轴对称， ∴Q2（

，

），

，﹣

），（

，

）；

∴Q点坐标分别为（

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【总结归纳】本题考查二次函数的图象及性质，动点问题；能够熟练掌握二次函数解析式与相应点的求法，熟悉等腰直角三角形的性质，应用勾股定理和直线垂直的性质建立坐标之间的联系，借助圆周角的性质，等腰三角形的性质，互余角的性质将角进行转换是解题的关键．

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