[拔高教育]2017-2018学年高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 第2课时

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?3ab>0，

故所需条件为?

?3a－3b>0

?3ab＜0，或?

?3a－3b<0，

即ab>0且a>b或ab<0且a0且a>b或ab<0且a

4．如果x＞0，y＞0，x＋y＋xy＝2，则x＋y的最小值为________． 解析：由x＞0，y＞0，x＋y＋xy＝2, 得2－(x＋y)＝xy≤?

2

?x＋y?2，

??2?

∴(x＋y)＋4(x＋y)－8≥0，∴x＋y≥23－2或x＋y≤－2－23， ∵x＞0，y＞0，∴x＋y的最小值为23－2. 答案：23－2

5．在某两个正数m，n之间插入一个数x，使m，x，n成等差数列，插入两个数y，z，使m，y，z，n成等比数列，求证：(x＋1)≥(y＋1)(z＋1)．

2x＝m＋n??2

证明：由已知可得?y＝mz??z2＝yn2

，

y2z2

所以m＝，n＝.

zyy2z2y2z2

即m＋n＝＋，从而2x＝＋. zyzy要证(x＋1)≥(y＋1)(z＋1)， 只需证x＋1≥只需证x＋1≥

2

y＋y＋

z＋

＋z＋

2

成立． 即可．

y2z2

也就是证2x≥y＋z，而2x＝＋，

zyy2z2

则只需证＋≥y＋z即可．

zy即y＋z≥yz(y＋z)，

只需证y－yz＋z≥yz，即证(y－z)≥0成立， 由于(y－z)≥0显然成立，∴(x＋1)≥(y＋1)(z＋1)．

6．已知a＞0，函数f(x)＝x－a，x∈[0，＋∞)，设x1＞0.记曲线y＝f(x)在点M(x1，

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2

2

3

3

f(x1))处的切线为l.

(1)求l的方程；

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(2)设l与x轴的交点为(x2,0)，求证：x2≥a.

3解析：(1)f′(x)＝3x.

故l的方程为y－(x1－a)＝3x1(x－x1)， 即y＝3x1x－2x1－a.

(2)证明：令y＝3x1x－2x1－a＝0， 2x1＋a2x1＋a得x＝2，∴x2＝2.

3x13x1欲证x2≥a，

只需证2x＋a≥3x·a，

即证(x1－a)(2x1＋a)≥0，显然成立， ∴原不等式成立.

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