第10章 模糊数学

Mf(x)? 称

max?f(x)x?X??min?f(x)x?X?f(x)?min?f(x)x?X? (?x?X)

Mff(Mf)为f的无条件模糊优越集称的f的无条件模糊极大值.这里

，它的求属函数按扩张原理为

(约定???0)

f(Mf)?F(R)f(Mf)(y)???Mf(x)f(x)?y?M(x)?1f(x1)?maxf(x)x?X注 (1)当x?x1为f(x)的极大点，即时f1，当x?x2??M(x)?0f(x1)?f(x2)f(x2)?minf(x)x?X为f(x)的极小点，即时f2,充分必要

条件是

??Mf(x1)?Mf(x2)(2)当当

??x1x2?X?

时，

y1?max?f(x)x?X?f(Mf)(y1)???Mf(x)f(x)?y1?

y2?min?f(x)x?X?时，

f(Mf)(y2)???Mf(x)f(x)?y2?

当y?f(X)?R时，

f(Mf)(y)???Mf(x)f(x)?yy?f(x)?????0因此,设

f(Mf)(y)反映了在模糊意义下,

y对f的模糊数大值的求属程度.

X??x1,x2,x3,x4,x5?，f:X?R,

f(x3)??1f(x4)?1, f(x5)?1,则 定义f(x1)?0, f(x2)?3,

maxf(x)?3 minf(x)??1, 并且

于是

Mf(x)?(f(xi)?1)4(i?1,2,3,4,5)

Mf?(0.25,0,1,0.5,0.5)

又

f(Mf)(0)???Mf(x)f(x)?0??Mf(x1)?0.25f(Mf)(3)?Mf(x2)?1

f(Mf)(?1)?Mf(x3)?0 故

f(Mf)(1)???Mf(x)f(x)?1??Mf(x4)?Mf(x5)?0.5

f(Mf)?0.25/0?1/?1?1/3?0.5/1m f的无条件模糊极小集f定义为?f的无条件极大集，显然有

mf(x)? 且有，

max?f(x)x?X??min?f(x)x?X?,所有极小集

max?f(x)x?X??f(x) (?x?X) 的余集.

mf(x)?1?Mf(x)mf是极大集

Mf二、模糊约束下有界函数的模糊极值

设：f:X?R是有界函数，C?F(X)，考虑f在C约束下的最大值问题，这是一个模糊规划问题，求解这个问题意味着既要最大限度地满足约束，又要最大限度地达到理想目标，为此定义如下：

定义2 设目标函数f:X?R是有界函数，C?F(X)是模糊约束，令

D?C?Mf这里的

Mf是定义1中f的无条件模糊优越集，称D为f在C约束下的条件模糊优越集，

称f(D)为f在C约束下的条件模糊极大值.它们的求属函数分别为：

Mf(x)?max?f(x)x?X??min?f(x)x?X?

f(x)?min?f(x)x?X?

D(x)?C(x)?Mf(x)f(D)(y)???D(x)?(C(x)?Mf(x))f(x)?y?

求解目标函数f(x)在模糊约束C下的条件极大值有如下三个步骤： (1)求无条件模糊优越集 (2)求条件模糊优越集

Mf

D?C?Mf? (3)求条件最佳决策，即选择x,使

D(x?)?max?D(x)x?X?

?x?就是所求的条件极大点，f(x)就是在模糊约束C下的条件极大值.

例2采区巷道布置是矿井开拓中的重要内容，其目的就是建立完善的矿井生产系统，实现采区合理集中生产，改善技术经济指标.因此，合理地选择最优巷道布置方案，对于矿井生产具有十分重要的意义.根据煤矿开采的特点和采区在矿井生产的作用，在选择最优巷道布置方案时，要求达到下列标准：

(1)生产集中程度高； (2)采煤机械化程度高； (3)采区生产系统十分完善； (4)安全生产可靠性好； (5)煤炭损失率低； (6)巷道掘进费用尽可能低.

上述问题,实际上就是一个模糊约束下的条件极值问题，我们可以把(1)～(5)作为模糊约束，而把(6)作为目标函数.

x设某矿井的采区巷道布置有六种方案可供选择，即X=｛x1(方案Ⅰ), x2 (方案Ⅱ), 3(方xx案Ⅲ), x4(方案Ⅳ), 5(方案Ⅴ), 6(方案Ⅵ)｝.

经过对六种方案进行审议，评价后，将其结果列于表1 方案 评价项目 x1 较低 高 一级 较低 高 x2 高 较高 较低 一般 较高 69.10 x3 较高 较高 较低 较低 一般 78.80 x4 很高 高 很高 高 一般 34.50 x5 较高 很高 高 一般 一般 44.20 x6 较高 高 较高 高 很低 63.60 C1:生产集中程度高 C2:采煤机械化程度高 C3:采区生产系统完善 C4:安全生产可靠度高 C5:煤炭损失率低 C6:mf巷道掘进费用(万元) 59.40

将表1中的语言真值(评价结果)转化为各模糊约束集化的对应关系如下：

Ci?F(X),(i?1,2,3,4,5)的隶属度转

C对C1, C2, 3, C4而言，对应关系为：

很 低 0.0 对 1.0

将表1中的巷道掘进费用目标函数f用公式

较 低 0.2 一 般 0.4 较 高 0.6 高 0.8 很 高 1.0 C5而言，对应关系为

较 低 0.8 一 般 0.6 较 高 0.4 高 0.2 很 高 0.0 很 低 mf(xi)?maxf?f(x)maxf?minf

计算出，因此得表2

其值语言与隶属函数转换表2 方案 CImfC1 C2 x1 0.2 0.8 0.4 0.2 0.2 x2 0.8 0.6 0.2 0.4 0.4 0.22 x3 0.4 0.6 0.2 0.2 0.6 0 x4 1.0 0.8 1.0 0.8 0.6 1 x5 0.6 1.0 0.8 0.4 0.6 0.78 x6 0.6 0.8 0.6 0.8 1.0 0.34 C3 C4 C5 mf

0.44 计算模糊判决集D为

D?mf?C1?C2?C3?C4?C5 (按列求最小)

由

xi?X?0.2/x1?0.2/x2?0/x3?0.6/x4?0.4/x5?0.34/x6

maxD(xi)?0.6?D(x4)根据最大求属度原则，方案四最优

例3 在某种食品中投放某种调味剂，每公斤食品中的含量设为x克，对顾客爱好作调查统计，得爱好函数为

对于使爱好函数值越大的x值，所制产品越畅销，因而收益越大，但是由于成本核算等等原因，对x值需要进行限制，这种限制集合的边界是模糊的，即x的约束条件为一模糊集

?x(1?x/10),?2ef(x)???0,?0?x?100,x?100.A，其隶属函数为

?1, 0?x?1.??A(x)??1?, x?1.2?1?(x?1)??

试确定合理的剂量x，使得在接受约束的条件下，获得最优收益. 解 这是一个规划问题，分三步进行.