第10章 模糊数学

绪言

任何新生事物的产生和发展，都要经过一个由弱到强,逐步成长壮大的过程，一种新理论、一种新学科的问世，往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。模糊数学自1965年L.A.Zadeh教授开创以来所走过的道路，充分证实了这一点，然而，实践是检验真理的标准，模糊数学在理论和实际应用两方面同时取得的巨大成果，不仅消除了人们的疑虑，而且使模糊数学在科学领域中，占有了自己的一席之地。

经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的，不可能不带有这些学科固有的局限性。这些学科考察的对象，都是无生命的机械系统，大都是界限分明的清晰事物，允许人们作出非此即彼的判断，进行精确的测量，因而适于用精确方法描述和处理。而那些难以用经典数学实现定量化的学科，特别是有关生命现象、社会现象的学科，研究的对象大多是没有明确界限的模糊事物，不允许作出非此即彼的断言，不能进行精确的测量。清晰事物的有关参量可以精确测定，能够建立起精确的数学模型。模糊事物无法获得必要的精确数据，不能按精确方法建立数学模型。实践证明，对于不同质的矛盾，只有用不同质的方法才能解决。传统方法用于力学系统高度有效，但用于对人类行为起重要作用的系统，就显得太精确了，以致于很难达到甚至无法达到。 精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑，即要求符合非此即彼的排中律，这对于处理清晰事物是适用的。但用于处理模糊性事物时，就会产生逻辑悖论。如判断企业经济效益的好坏时，用“年利税在100万元以上者为经济效益好的企业”表达，否则，便是经济效益不好的企业。根据常识，显而易见：“比经济效益好的企业年利税少1元的企业，仍是经济效益好的企业”，而不应被划为经济效益不好的企业。这样，从上面的两个结论出发，反复运用经典的二值逻辑，我们最后就会得到，“年利税为0者仍为经济效益好的企业”的悖论。类似的悖论有许多，历史上最著名的有“罗素悖论”。它们都是在用二值逻辑来处理模糊性事物时产生的。 客观实际中存在众多的模糊性事物和现象，促使人们寻求建立一种适于描述模糊事物和现象的逻辑模式。模糊集合理论便是在这种形势下应运而生的。模糊方法的逻辑基础是连续值逻辑，它是建立在[0，1]上的。如若我们把年利税在100万元以上者的属于“经济效益好”的企业的隶属度规定为1，那末，相比之下，年利税少1元的企业，属于“经济效益好”的企业的隶属度就应相应减少一点，比如为0.99999，依此类推，企业的年利税每减少1元，它属于“经济效益好”的企业的隶属度就要相应减少一点。这样下去，当企业的年利税为0时，它属于“经济效益好”的企业的隶属度也就为0了，显然，模糊方法的这种处理方式，是符合于人们的认识过程的，连续值逻辑是二值逻辑的合理推广。 现代科学发展的总趋势是，从以分析为主对确定性现象的研究，进到以综合为主对不确定性现象的研究。各门科学在充分研究本领域中那些非此即彼的典型现象之后，正在扩大视域，转而研究那些亦此亦彼的非典型现象。自然科学不同学科之间，社会科学不同学科之间，自然科学和社会科学之间，相互渗透的趋势日益加强，原来截然分明的学科界限一个个被打破，边缘科学大量涌现出来。随着科学技术的综合化、整体化，边界不分明的对象，亦即模糊性对象，以多种多样的形式普遍地、经常地出现在科学的前沿。

模糊集合理论自诞生以来，获得了长足的发展，每年全世界发表的研究论文的数量，以指数级速度增长。研究范围从开始时的模糊集合，发展为模糊数、模糊代数、模糊测度、模糊积分、模糊规划、模糊图论、模糊拓扑??等众多的分枝。 和模糊集合理论的发展速度相比，模糊技术的应用虽稍迟一步，但也取得了令人可喜的进展。自1980年第一例应用模糊技术的产品问世以来，有关这方面的研究报告已逾7000多篇，制造出近千种模糊产品，如计算机、电饭煲、摄像机、微波炉、洗衣机、空调器等。如日本松下公司研制的智能化家用空调器，可根据内置的传感器提供的室内空气温度数据，在室温高或低于25℃时，会自动地“稍稍”调节空调器的阀门，进行4608种不同状态设定选择，从

而获得最佳开启状态和尽可能少的消耗。而这种“稍稍”的程度，只有通过有经验的人的感觉来决定。

模糊技术方法不是对精确的摒弃，而是对精确更圆满的刻画。它通过模糊控制规划，利用人类常识和智慧，理解词语的模糊内涵和外延，将各方面专家的思维互相补充。虽然，目前要使模糊技术接近于人的思维，尚难以做到，但正如日本夏普公司电子专家日吉考庄所说：一个普遍应用模糊技术的时代，不久就会到来。

我国自70年代开始模糊数学研究以来，成就突出，已形成了2000至3000人的世界最庞大的研究队伍，并在高速模糊推理研究等领域，居世界领先地位。但同时在其它方面，也存在着一些差距，尤其突出的是实验室里的成果，还有许多未转化成经济效益。需要在政府和工业界的支持和参与下，成立专门的开发实体，制定规划，并积极开展国际交流，为我国21世纪的技术发展和科学腾飞奠定基础。 第二章 模式识别 §2-1模式识别及识别的直接方法

在日常生活中生活中，经常需要进行各种判断、预测。如图象文字识别、故障（疾病）的诊断、矿藏情况的判断等，其特点就是在已知各种标准类型前提下，判断识别对象属于哪个类型的问题。这样的问题就是模式识别。 一、模糊模式识别的一般步骤

模式识别的问题，在模糊数学形成之前就已经存在，传统的作法主要用统计方法或语言的方法进行识别。但在多数情况下，标准类型常可用模糊集表示，用模糊数学的方法进行识别是更为合理可行的，以模糊数学为基础的模式识别方法称为模糊模式识别。 模式识别主要包括三个步骤：

第一步：提取特征，首先需要从识别对象中提取与识别有关的特征，并度量这些特征，设

x1,?,xn分别为每个特征的度量值，于是每个识别对象x就对应一个向量

(x1,x2,?,xn)，这一步是识别的关键，特征提取不合理，会影响识别效果。

第二步：建立标准类型的隶属函数，标准类型通常是论域是识别对象的第i个特征。

第三步：建立识别判决准则，确定某些归属原则，以判定识别对象属于哪一个标准类型。常用的判决准则有最大隶属度原则（直接法）和择近原则（间接法）两种。 二、最大的隶属度原则

若标准类型是一些表示模糊概念的模糊集，待识别对象是论域中的某一元素（个体）时，往往由于识别对象不绝对地属于某类标准类型，因而隶属度不为1，这类问题人们常常是采用称为“最大隶属度原则”的方法加以识别，这种方法（以及下面的“阈值原则”）是处理个体识别问题的，称为直接法。 最大隶属度原则：设

U??(x1,?xn)?的模糊集，xiA1,A2?An?F(U)是n个标准类型，x0?U，若

Ai(x0)?max? Ak(x0) 1?k?n?则认为

x0相对隶属于Ai所代表的类型。

例1 通货膨胀识别问题

通货膨胀状态可分成五个类型:通货稳定;轻度通货膨胀;中度通货膨胀;重度通货膨胀;恶性通货膨胀.以上五个类型依次用R(非负实数域,下同)上的模糊集属函数分别为:

?A1,A2,A3,A4,A5 表示,其隶

1, 0?x?5??A1(x)??x?52exp[?[]], x?5?3?

x?102A2(x)?exp(?())5 x?202A3(x)?exp(?())7 x?302A4(x)?exp(?())9 x?502??exp[?()), 0?x?50A5(x)??15? x?50? 1,

其中对x?0,表示物价上涨x%。问x?8,40时，分别相对隶属于哪种类型？

9A2(8)?0.8521 解 A1(8)?0.367，

A3(8)?0.0529，A4(8)?0.0032 A5(8)?0.0000

A1(40)?0.0000，A2(40)?0.0000

A3(40)?0.0003，A4(40)?0.1299

A5(40)?0.6412

由最大隶属原则，x?8应相对隶属于A2，即当物价上涨8%时，应视为轻度通货膨胀；

x?40，应相对隶属于A5，即当物价上涨40%时，应视为恶性通货膨胀。

三、阈值原则

在使用最大隶属度原则进行识别中，还会出现以下两种情况，其一是有时待识别对象关于模糊集

x0A1,A2?An中每一个隶属程度都相对较低，A,A?An对元

这时说明模糊集合12A1,A2?An中若干个的隶属程度都相

素x不能识别；其二是有时待识别对象x关于模糊集

对较高，这时还可以缩小x的识别范围，关于这两种情况有如下阈值原则。 阈值原则：

A1,A2?An?F(U)是n个标准类型，x0?U,d?(0,1]为一阈值（置信水平）

令

??max?Ak(x0)1?k?n?

若??d则不能识别，应查找原因另作分析。 若??d且有

Ai1(x0)?d

，

Ai2(x0)?d?

Aim(x0)?d 则判决

x0相对地属于

Ai1?Ai2??Aim例2 三角形识别问题

我们把三角形分成等腰三角形I,直角三角形R, 正三角形E,非典型三角形T,这四个标准类型,取定论域

X??xx?(A,B,C),A?B?C?180,A?B?C?

这里A,B,C是三角形三个内角的度数，通过分析建立这四类三角形的隶属函数为：

1[(A?B)?(B?C)]A(x)?1(602

1R(x)?1?A?9090 1E(x)?1?(A?C)180 1T(x)?min[3(A?B),3(B?C),A?C,2A?90]180

x?(A,B,C)?(85,50,45)，x0对上述四个标准类型的隶属度为：

现给定，0I(x)?1?n

I(x0)?0.916 R(x0)?0.94 E(x0)?0.7T(x0)?0.06

由于

x0关于I,R的隶属程度都相对高，故采用阈值原则，取d?0.8，因

I(x0)?0.916?0.8，R(x0)?0.94?0.8，按阈值原则，x0相对属于I∩R,即x0可识别

为等腰直角三角形。 例3 癌细胞识别

在癌细胞识别问题中细胞分成四个标准类型，即：癌细胞(M)，重度核异质细胞(N)，轻度核异质细胞(R)，正常细胞(T)。 选取表征细胞状况的七个特征：

x1:核面积,x2:细胞面积,x5:核内总光密度,x7:核内平均透光率.x2:核周长,x4:细胞周长,x6:核内平均光密度,

根据病理知识，反映细胞是否癌变的主要指标有以下六个，它们都是