线性代数论文

总结求矩阵的逆矩阵的方法

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摘要：矩阵是线性代数的基本概念。它在线性代数与数学的许多分支中都有很

重要的应用，许多实际问题可以用矩阵表达并用有关理论得到解决，而逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.

关键词：矩阵 逆矩阵 方法

Method of finding inverse matrix Abstract:

Matrix in linear algebra is the main content,many prictical problems with the matrix theory is simple and fast. The inverse matrix andmatrix theory the important content, the solution of inverse matrix nature has become one of the main research contents of linear algebra. The paper will give some method of finding inverse matrix.

Key words:

Matrix inversematrix method

正文：

1 .引言:矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代 数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 2.求矩阵的逆矩阵的方法总结： 2.1矩阵的基本概念

因为求逆矩阵是在矩阵的基础上，所以在求逆矩阵之前需要了掌握矩阵的基本概念。

矩阵是由m×n个数排成的m 行n 列的矩形数表，通常用大写字母A,B,C…表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母

表

示其元素，其中下标i,j,k,l,p,q 都是正整数，它们表示该元素在矩阵中的位置。

比如，示元素

或 表示一个m×n矩阵，下标i，j表

位于该矩阵的第i行、第j列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。

特别地，一个m×1矩阵 ，也称为一个m 维列向量；而一个1×n矩阵 ，也称为一个n维行向量。

当一个矩阵的行数与列数相同时称为方阵，对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线，主对角线上的元素称为主对角元；而从左下角到右上角的连线称为辅对角线。主对角元以外的元素全为零的方阵为对角矩阵。若一个n阶方阵的主对角线上的元素都是1，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为

，如：

。如果一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，

则称为下（上）三角矩阵，例如， 是一个 阶下三角矩

阵，而 则是一个 阶上三角矩阵。 2.1.2逆矩阵的概念

矩阵之间没有定义除法，而数之间有除法，相对于实数之间的除法，矩阵中存在着逆矩阵。设A是一个n阶矩阵，如果存在n阶矩阵B，使AB=BA=E，则称A为可逆矩阵，并称B是A的可逆矩阵。

2.2求逆矩阵的方法： 1.利用定义求逆矩阵

定义: 设A是n阶矩阵， 若存在 阶矩阵B ，使得AB= BA = E, 则称A为可逆矩阵, B是A 的逆矩阵，记作B= A?1.下面举例说明这种方法的应用.

例1 ：已知n阶矩阵A满足A2?2A?3E?0，证明A+4E可逆并求出

?A?4E??1.

证明：把A2?2A?3E?0变形为(A+4E)（A?2E）=-5E， 可得（A+4E）（?15A?2515E）=E，

25E所以存在一个矩阵B=?A?，使（A+4E）B=E。

?1由定义得A+4E可逆，且?A?4E?=B=?15A?25E

例2 求证: 如果方阵A 满足AK = 0, 那么EA是可逆矩阵, 且

（E-A）?1= E + A + A2+…+AK?1

证明 因为E 与A 可以交换, 所以

(E- A )(E+A + A2+…+ AK?1)= E-AK,

因AK= 0 ,于是得

(E-A)（E+A+A2+…+AK?1）=E，

同理可得（E + A + A2+…+AK?1）(E-A)=E，

因此E-A是可逆矩阵,且

(E-A)?1= E + A + A2+…+AK?1.