用 整 体 思 想 分 解 因 式

用 整 体 思 想 分 解 因 式

湖北 杨育颖

所谓整体思想就是在解题时，不是着眼于问题的局部，而是有意识放大考虑问题的“视角“，从大处着眼由整体入手，把一些看似彼此独立实质上紧密相联的量作为整体，通过研究问题的整体形式，整体结构，整体与局部的内在联系来解决问题．应用这一种数学思想方法，尤其是在因式分解的过程中，可使解题思路清晰，解法简捷，从而达到化繁为简， 化难为易的目的，现举例说明整体思想在因式分解中的应用，以供同学们参考： 一、整体提公因式

例1、因式分解：x(m?x)(m?y)?m(x?m)(y?m)

分析：把x(m?x)(m?y)改写成(x?m)(y?m)，实际上，同时改变积中两个因式的符号时其值不变，因此，可以把(x?m)(y?m)看作一个整体，那么多项式

x(m?x)(m?y)?m(x?m)(y?m)的公因式就为(x?m)(y?m)．

解： x(m?x)(m?y)?m(x?m)(y?m) ?x(x?m)(y?m)?m(x?m)(y?m)

例2、因式分解：(a?b)3?(a?b)2

分析：对于有括号的多项式，因式分解时，不要急于将括号展开，要仔细观察式子的特点，有时不去掉括号，直接分解因式更方便些，如此题可把(a?b)看作一个整体，则多项式

?(x?m)(y?m)(x?m)?(x?m)2(y?m)(a?b)3?(a?b)2的公因式就为(a?b)2． 解：(a?b)3?(a?b)2?(a?b)2(a?b?1)

二、整体用公式

例3、因式分解：(2a?b)2?(a?2b)2

分析：若把(2a?b)和(a?2b)看作一个整体，则(2a?b)2?(a?2b)2可看作两项，它符合平方差公式的条件，故可以用整体思想来因式分解． 解： (2a?b)?(a?2b)

22?[(2a?b)?(a?2b)][(2a?b)?(a?2b)]?(3a?b)(a?3b)例4、因式分解：9(x?y)2?12(x?y)(y?x)?4(x?y)2

22分析：若把3(x?y)和2(y?x)看作一个整体，则9(x?y)?12(x?y)(y?x)?4(x?y)看作三项，它符合完全平方公式的特点，故可用整体思想来简化其解题过程． 解： 9(x?y)2?12(x?y)(y?x)?4(x?y)2

三、整体求解

?[3(x?y)]2?2?3(x?y)?2(y?x)?[2(x?y)]2?[3(x?y)?2(y?x)]2?(5x?y)2

例5、已知：x?y?1,xy?2,求x3y?2x2y2?xy3的值．

分析：这类问题一般不适合解方程组求得x,y的值，再代入代数式x3y?2x2y2?xy3中计算求值，比较简便而常用的方法是先对所给的代数式x3y?2x2y2?xy3进行分解因式，使之出现xy,x?y的式子，再整体代入求值． 解：因为 x?y?1,xy?2,

所以

x3y?2x2y2?xy3?xy(x2?2xy?y2)?xy(x?y)2?2?12?2例6、解方程(55x?35)(53x?26)?(55x?35)(53x?27)?0

分析：把(55x?35)看作一个整体，先分解因式，则方程左边的多项式就可提取公因式

(55x?35)，然后再解方程．

解：因为 (55x?35)(53x?26)?(55x?35)(53x?27)?0

所以 (55x?35)(53x?26?53x?27)?0 所以 ?(55x?35)?0 所以 11x?7?0 所以

7x??11

四、整体判断

例7、已知a,b,c是△ABC的三边，且(a?b?c)(b2?c2)?2bc(a?b?c)?0，试判断△ABC的形状．

分析：要判断△ABC的形状，则需要找出a,b,c三边关系，根据所给的条件，可将(a?b?c)看作一个整体作为(a?b?c)(b2?c2)?2bc(a?b?c)的公因式进行因式分解，从而可发现a,b,c之间的关系．

解：因为(a?b?c)(b2?c2)?2bc(a?b?c)?0

所以(a?b?c)(b2?c2?2bc)?0，即(a?b?c)(b?c)2?0， 根据三角形三边关系可知a?b?c＞0，所以b?c?0， 所以b?c，所以△ABC为等腰三角形．

例8、已知a,b,c是△ABC的三边，试判断：(a2?b2?c2)2?4a2b2的正负性． 分析：若把(a?b?c)和(2ab)视作为整体，则(a?b?c)?4ab可以看作为两项，它符合平方差公式的条件，由此可想到利用平方差公式分解因式，然后再利用三角形的三边关系，从而是问题得以解决． 解： (a?b?c)?4ab

222222222222222?(a2?b2?c2)2?(2ab)2?(a2?b2?c2?2ab)(a2?b2?c2?2ab)?[(a2?2ab?b2)?c2][a2?2ab?b2)?c2]?[(a?b)2?c2][(a?b)2?c2]?(a?b?c)(a?b?c)(a?b?c)(a?b?c)

因为a,b,c是△ABC的三边，所以a?b?c＞0，a?b?c＞0，a?b?c＞0，a?b?c＜0，所以(a?b?c)(a?b?c)(a?b?c)(a?b?c)＜0，即(a2?b2?c2)2?4a2b2＜0．