高中数学选修2-1同步解析版教师用书（含答案）第三章 数系的扩充与复数的引入 精选 改好

高中数学选修2-1同步解析版教师用书（含答案）

3

cos α＝－.

5

又∵－π＜α＜0，∴sin α＝－1－cos2α＝－34－?2＝－. 1－??5?5

9.已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是 . 答案 (1，5)

解析 由题意可知z＝a＋i.根据复数的模的定义，得|z|＝a2＋1，而0＜a＜2，故1＜|z|＜5.

11

10.复数z＝log3＋ilog3 对应的点位于复平面内的第 象限.

22答案 三

11

解析 log3<0，log3 <0，

22

11

∴z＝log3＋ilog3 对应的点位于复平面内的第三象限.

22三、解答题

11.设复数z＝lg(m2＋2m－14)＋(m2－m－6)i，求当实数m为何值时： (1)z为实数；

(2)z对应的点位于复平面的第二象限.

?m2－m－6＝0，?

解 (1)由题意得?2

?m＋2m－14＞0，?

解得m＝3(m＝－2舍去). 故当m＝3时，z是实数.

2

??lg?m＋2m－14?＜0，

(2)由题意得?2

?m－m－6＞0，?2

??0＜m＋2m－14＜1，即?2 ??m－m－6＞0.

m＋2m－14＞0，??2

即?m＋2m－15＜0，??m2－m－6＞0，

2

?m＜－1－15或m＞－1＋15，?

得?－5＜m＜3，??m＜－2或m＞3.

解得－5＜m＜－1－15.

故当－5＜m＜－1－15时，z对应的点位于复平面内的第二象限. 12.已知z1＝－3＋4i，|z|＝1，求|z－z1|的最大值和最小值.

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解 如图，|z|＝1表示复数z对应的点在以(0,0)为圆心，1为半径的圆上，而z1在坐标系中的对应点的坐标为(－3,4)，∴|z－z1|可看作是点(－3,4)到圆上的点的距离.

由图可知，点(－3,4)到圆心(即原点)的距离为?－3?2＋42＝5，故|z－z1|max＝5＋1＝6，|z－z1|min＝5－1＝4.

13.设全集U＝C，A＝{z|||z|－1|＝1－|z|，z∈C}，B＝{z||z|＜1，z∈C}，若z∈A∩(?UB)，求复数z在复平面内对应的点的轨迹. 解 ∵z∈C，|z|∈R，∴1－|z|∈R. ∵||z|－1|＝1－|z|，∴1－|z|≥0，即|z|≤1， ∴A＝{z||z|≤1，z∈C}.

又∵B＝{z||z|＜1，z∈C}，∴?UB＝{z||z|≥1，z∈C}. ∵z∈A∩(?UB)，∴z∈A且z∈?UB，

??|z|≤1，∴?∴|z|＝1. ?|z|≥1，?

由复数的模的几何意义知，复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆.

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3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义

[学习目标] 1.熟练掌握复数的代数形式的加、减法运算法则.2.理解复数加、减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.

知识点 复数的加、减法法则及几何意义与运算律

→→z1，z2，z3∈C，设OZ1，OZ2分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)→→相对应，且OZ1，OZ2不共线 运算法则 加法 z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i 减法 z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i 几何意义 →复数的和z1＋z2与向量OZ1＋→→OZ2＝OZ的坐标对应 复数的差z1－z2与向量→→→OZ1－OZ2＝Z2Z1的坐标对应 运算律

交换律 结合律 z1＋z2＝z2＋z1 (z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3) 思考 (1)两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？ (2)若复数z1，z2满足z1－z2＞0，能否认为z1＞z2? 答案 (1)是复数，唯一确定. (2)不能，例如可取z1＝3＋2i，z2＝2i.

题型一 复数加、减法的运算 例1 (1)计算(2＋4i)＋(3－4i)； (2)计算(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i). 解 (1)原式＝(2＋3)＋(4－4)i＝5.

(2)原式＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i＝－2＋2i.

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反思与感悟 复数的加、减法运算，就是实部与实部相加减作实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把i看作字母，类比多项式加减中的合并同类项.

跟踪训练1 计算(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋?＋(2 011－2 012i)－(2 012－2 013i). 解 方法一 原式＝(1－2＋3－4＋?＋2 011－2 012)＋(－2＋3－4＋5＋?－2 012＋2 013)i＝－1 006＋1 006i.

方法二 (1－2i)－(2－3i)＝－1＋i， (3－4i)－(4－5i)＝－1＋i，?，

(2 011－2 012i)－(2 012－2 013i)＝－1＋i. 将上列1 006个式子累加可得

原式＝1 006(－1＋i)＝－1 006＋1 006i. 题型二 复数加、减法的几何意义

例2 如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求：

→→

(1)AO所表示的复数，BC所表示的复数； →

(2)对角线CA所表示的复数；

→→

(3)对角线OB所表示的复数及OB的长度. →

解 (1)因为AO＝0－(3＋2i)＝－3－2i， →

所以AO所表示的复数为－3－2i. →→因为BC＝AO，

→

所以BC所表示的复数为－3－2i. →→→

(2)因为CA＝OA－OC，

→

所以CA所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. →→→→→

(3)因为对角线OB＝OA＋AB＝OA＋OC，

→

所以OB所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i， →

所以|OB|＝12＋62＝37.

→

反思与感悟 复数z与复平面内的向量OZ是一一对应的关系，复数的加法可以按照向量的加法来进行，即复数的加法符合向量加法的三角形法则、平行四边形法则.

类比实数减法的意义，复数的减法也是加法的逆运算：减去一个复数等于加上这个复数的

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