高中数学选修2-1同步解析版教师用书（含答案）第三章 数系的扩充与复数的引入 精选 改好

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题实数化思想；根据复数模的意义，结合图形，也可利用平面几何知识解答本题. 跟踪训练3 已知复数|z|＝1，求复数3＋4i＋z的模的最大值及最小值. 解 令ω＝3＋4i＋z，则z＝ω－(3＋4i). ∵|z|＝1，∴|ω－(3＋4i)|＝1，

∴复数ω在复平面内对应的点的轨迹是以(3,4)为圆心，1为半径的圆，如图，容易看出，圆上的点A所对应的复数ωA的模最大，为32＋42＋1＝6；圆上的点B所对应的复数ωB的模最小，为32＋42－1＝4，

∴复数3＋4i＋z的模的最大值和最小值分别为6和4.

复数与函数的综合应用

对于求复数的题目，一般的解题思路是：先设出复数的代数形式，如z＝a＋bi(a，b∈R)，利用题目给出的条件，结合复数的相关概念和性质，列出方程(或方程组)，求出a，b，最后将复数的代数形式写出来.

例4 已知f(z)＝|2＋z|－z，且f(－z)＝3＋5i，求复数z.

分析 题目中出现了f(z)与f(－z)的关系式，可由f(z)得到f(－z)的另一种关系式.要求复数z，只需设z＝a＋bi(a，b∈R)，求出a，b即可.利用复数相等的充要条件即可列方程组求解. 解 设复数z＝a＋bi(a，b∈R). ∵f(z)＝|2＋z|－z，∴f(－z)＝|2－z|＋z. 又∵f(－z)＝3＋5i，∴|2－z|＋z＝3＋5i， ∴|2－(a＋bi)|＋a＋bi＝3＋5i. 即?2－a?2＋?－b?2＋a＋bi＝3＋5i. 根据复数相等的充要条件，

??2－a?2＋?－b?2＋a＝3，得? ?b＝5，

??a＝－10，解得?

?b＝5.?

∴复数z＝－10＋5i.

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1.在复平面内，复数z＝i＋2i2对应的点位于( ) A.第一象限 C.第三象限 答案 B

解析 ∵z＝i＋2i2＝－2＋i，∴实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限. 2.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( ) A.4＋8i C.2＋4i 答案 C

解析 由题意知点A的坐标为(6,5)，点B的坐标为(－2,3).由中点坐标公式，得线段AB的中点C的坐标为(2,4)，故点C对应的复数为2＋4i.

3.复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|＜|z2|，那么实数a的取值范围是 . 答案 (－1,1)

解析 因为|z1|＝a2＋4，|z2|＝?－2?2＋12＝5. 又因|z1|＜|z2|，所以a2＋4＜5，解得－1＜a＜1.

4.在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2mi的点在直线y＝x上，则实数m的值为 . 答案 9

解析 ∵z＝(m－3)＋2mi表示的点在直线y＝x上， ∴m－3＝2m，解得m＝9.

5.已知z1＝2(1－i)，且|z|＝1，求|z－z1|的最大值.

解 如图所示，因为|z|＝1，所以z的轨迹可看作是半径为1，圆心为(0,0)的圆，而z1对应坐标系中的点为Z1(2，－2)，所以|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点的最大距离，则|z－z1|max＝22＋1.

B.8＋2i D.4＋i B.第二象限 D.第四象限

1.复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应.

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2.研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实、虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑.

一、选择题

1.设x＝3＋4i，则复数z＝x－|x|－(1－i)在复平面上的对应点在( ) A.第一象限 C.第三象限 答案 B

解析 ∵x＝3＋4i，∴|x|＝32＋42＝5， ∴z＝3＋4i－5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i ＝－3＋5i.

∴复数z在复平面上的对应点在第二象限.

2

2.当

3A.第一象限 C.第三象限 答案 D

解析 复数z在复平面内对应的点为Z(3m－2，m－1).

2

由0，m－1<0.所以点Z位于第四象限.故选D. 3

→

3.在复平面内，O为原点，向量OA对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称→

点为B，则向量OB对应的复数为( ) A.－2－i C.1＋2i 答案 B

→

解析 ∵A(－1,2)关于直线y＝－x的对称点B(－2,1)，∴向量OB对应的复数为－2＋i. 4.已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是( ) A.1个圆 C.2个点 答案 A

解析 由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0， 即|z|＝3或|z|＝－1. ∵|z|≥0，∴|z|＝3.

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B.第二象限 D.第四象限

B.第二象限 D.第四象限

B.－2＋i D.－1＋2i

B.线段 D.2个圆

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∴复数z对应的轨迹是1个圆.

3π5π?

5.若θ∈??4，4?，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内所对应的点在( ) A.第一象限 C.第三象限 答案 B

3π5π?解析 ∵θ∈??4，4?，∴cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0.∴选B.

6.设A、B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cos B－tan A)＋tan Bi对应的点位于复平面的( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B

ππ

解析 因A、B为锐角三角形的两个内角，所以A＋B＞，即A＞－B，sin A＞cos B.cos B

22sin A

－tan A＝cos B－＜cos B－sin A＜0，又tan B＞0，所以点(cos B－tan A，tan B)在第二

cos A象限，故选B. 二、填空题

7.设z＝log2(m2－3m－3)＋i·log2(m－3)(m∈R)，若z对应的点在直线x－2y＋1＝0上，则m的值是 . 答案

15

B.第二象限 D.第四象限

解析 由题意知，复数z＝x＋yi(x，y∈R)的实部x和虚部y满足方程x－2y＋1＝0， 故log2(m2－3m－3)－2log2(m－3)＋1＝0， m2－3m－3则log2＝－1，

?m－3?2m2－3m－31∴＝，∴m＝±15.

2?m－3?22

??m－3m－3＞0，∵? ?m－3＞0，?

3＋21∴m＞，

2∴m＝15.

8.若复数z＝5cos α－4i(i为虚数单位，－π＜α＜0)在复平面上的对应点在直线y＝x－1上，则sin α＝ . 4

答案 － 5

解析 ∵复数z＝5cos α－4i在复平面上的对应点在直线y＝x－1上，∴－4＝5cos α－1, 即

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