高中数学选修2-1同步解析版教师用书（含答案）第三章 数系的扩充与复数的引入 精选 改好

高中数学选修2-1同步解析版教师用书（含答案）

A.±1 C.±2i 答案 C

B.±i D.±2i

4.已知M＝{2，m2－2m＋(m2＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，则实数m的值为 . 答案 1或2

解析 ∵M∪N＝N，∴M?N，

∴m2－2m＋(m2＋m－2)i＝－1或m2－2m＋(m2＋m－2)i＝4i. 由复数相等的充要条件，得

?m2－2m＝－1，?m2－2m＝0，???2或?2 ???m＋m－2＝0?m＋m－2＝4，

解得m＝1或m＝2.故实数m的值是1或2.

5.设i为虚数单位，若关于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋mi＝0(m∈R)有一实根为n，则m＝ . 答案 1

解析 关于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋mi＝0(m∈R)有一实根为n，可得n2－(2＋i)n＋1＋mi＝0.

2

??n－2n＋1＝0，所以?所以m＝n＝1.

?m－n＝0.?

1.复数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)是解决问题的基础，明确其实部、虚部. 2.根据复数为实数、虚数、纯虚数，复数相等的充要条件，可将问题实数化.

一、选择题

1.设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于( ) A.－i B.i C.－1 D.1 答案 A

解析 ∵i2＝－1，∴－i2＝i·(－i)＝1，∴z＝－i.

2.设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 B

解析 若复数a－bi为纯虚数，则a＝0且b≠0，故ab＝0.而由ab＝0不一定能得到复数a

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B.必要不充分条件 D.即不充分也不必要条件

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－bi是纯虚数，故“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的必要不充分条件. 3.以－5＋2i的虚部为实部，以5i＋2i2的实部为虚部的新复数是( ) A.2－2i C.2＋i 答案 A

解析 设所求新复数z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知：复数－5＋2i的虚部为2；复数5i＋2i2＝5i＋2×(－1)＝－2＋5i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.故选A. 4.若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2xy的值为( )

＋

B.－5＋5i D.5＋5i

1A. 2C.0 答案 D

解析 由复数相等的充要条件知，

???x＋y＝0，?x＝1，?解得? ?x－1＝0，???y＝－1，

B.2 D.1

∴x＋y＝0.∴2xy＝20＝1.

＋

5.如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为( ) A.1 C.－1 答案 B

??m?m＋1?＝0，解析 由题意知?2∴m＝0.

?m－1≠0，?

B.0 D.－1或1

6.若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( ) π

A.2kπ－(k∈Z)

4π

C.2kπ±(k∈Z)

4答案 B

π

B.2kπ＋(k∈Z)

4kπ

D.π＋(k∈Z) 24

??sin 2θ－1＝0，

解析 由题意，得?解得?3π?2cos θ＋1≠0，

θ≠2kπ±?4

πθ＝kπ＋

4

π

(k∈Z)，∴θ＝2kπ＋，k∈Z.

4

二、填空题

7.若实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则xy的值是 . 答案 1

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??x＋y＝2，

解析 因为实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，所以x＋xi＋y－yi＝2，可得?所

?x－y＝0，?

以x＝y＝1，所以xy＝1.

8.若复数m－3＋(m2－9)i≥0，则实数m的值为 . 答案 3

???m－3≥0，?m≥3，

解析 依题意知?2解得?即m＝3.

?m－9＝0，???m＝－3或3，

9.已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，若z1＞z2，则a的取值集合为 . 答案 {0}

2a＋3a＝0，??2

解析 由z1＞z2，得?a＋a＝0，

??－4a＋1＞2a，故a的取值集合为{0}.

10.在给出的下列几个命题中，正确命题的个数为 . ①若x是实数，则x可能不是复数； ②若z是虚数，则z不是实数；

③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根. 答案 1

解析 因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i，故④错. 三、解答题

m2－7m＋12

11.当实数m为何值时，复数z＝(m＋m－6)i＋是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚

m＋3

2

2

解得a＝0，

数？

2??m＋m－6＝0，

解 (1)由?得m＝2.

?m＋3≠0，?

∴当m＝2时，z是实数.

2

???m＋m－6≠0，?m≠2且m≠－3，?(2)由得?即m≠2且m≠－3. ?m＋3≠0，???m≠－3，

∴当m≠2且m≠－3时，z是虚数.

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m＋m－6≠0，??

(3)由?m＋3≠0，

??m2－7m＋12＝0，

2

m≠2且m≠－3，??

得?m≠－3，??m＝3或m＝4，

即m＝3或m＝4.

∴当m＝3或m＝4时，z是纯虚数.

π

0，?，z1＝z2，求12.已知复数z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i，λ，m∈R，θ∈??2?λ的取值范围.

??m＝2cos θ，

解 由z1＝z2，λ，m∈R，可得? 2

?4－m＝λ＋3sin θ.?

39sin θ－?2－. 整理，得λ＝4sin2θ－3sin θ＝4?8?16?π9

0，?，∴sin θ∈[0,1]，∴λ∈[－，1]. ∵θ∈??2?16

1

13.已知关于m的一元二次方程m2＋m＋2mi－xy＋(x＋y)i＝0(x，y∈R).当方程有实根时，

2试确定点(x，y)所形成的轨迹. 解 不妨设方程的实根为m， 1

则m2＋m＋2mi＝xy－(x＋y)i.

2

1??m2＋m＝2xy， ①

∵x，y，m∈R，∴?

??2m＝－?x＋y?. ②x＋y

由②，得m＝－. 2代入①，得?

x＋y?2x＋y1

?2?－2＝2xy，

∴(x－1)2＋(y－1)2＝2，

∴点(x，y)的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝2，其轨迹是以(1,1)为圆心，2为半径的圆.

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