高中数学选修2-1同步解析版教师用书（含答案）第三章 数系的扩充与复数的引入 精选 改好

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第三章 数系的扩充与复数的引入

3.1.1 数系的扩充和复数的概念

[目标]

1.引进复数的必要性，理解并掌握虚数单位i. 2.复数的基本概念及复数相等的充要条件.

知识点一 复数的引入

在实数范围内，方程x2＋1＝0无解.为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即使i·i＝－1.把这个新数i添加到实数集中去，得到一个新数集.把实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a＋bi(a，b∈R)，这些数都应在新数集中.再注意到实数a和数i，也可以看作是a＋bi(a，b∈R)这样的数的特殊形式，所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是C＝{a＋bi|a，b∈R}，称i为虚数单位.

思考 (1)分别在有理数集、实数集、复数集中分解因式x4－25. (2)虚数单位i有哪些性质？

答案 (1)在有理数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5). 在实数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5) ＝(x2＋5)(x＋5)(x－5).

在复数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5) ＝(x2＋5)(x＋5)(x－5)

＝(x＋5i)(x－5i)(x＋5)(x－5). (2)虚数单位i有如下几个性质： ①i的平方等于－1，即i2＝－1；

②实数与i可进行四则运算，并且原有的加法、乘法运算律仍然成立； ③i的乘方：i4n＝1，i4n1＝i，i4n2＝－1，i4n3＝－i(n∈N*).

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知识点二 复数的概念、分类 1.复数的有关概念

(1)复数的概念：形如a＋bi的数叫做复数，其中a，b∈R，i叫做虚数单位.a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部.

(2)复数的表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi. 1 / 61

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(3)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.通常用大写字母C表示. 2.复数的分类及包含关系

?实数?b＝0?

?(1)复数(a＋bi，a，b∈R)??纯虚数?a＝0?

虚数?b≠0??

???非纯虚数?a≠0?

(2)集合表示：

思考 (1)两个复数一定能比较大小吗？ (2)复数a＋bi的实部是a，虚部是b吗？

答案 (1)不一定，只有当这两个复数是实数时，才能比较大小. (2)不一定，对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，实部才是a，虚部才是b. 知识点三 复数相等 复数相等的充要条件

设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.即它们的实部与虚部分别对应相等.

思考 (1)若复数z＝a＋bi(a，b∈R).z＝0，则a＋b的值为多少？

(2)若复数z1，z2为z1＝3＋ai(a∈R)，z2＝b＋i(b∈R)，且z1＝z2，则a＋b的值为多少？ 答案 (1)0；(2)4.

题型一 复数的概念

例1 写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数. 1

①2＋3i；②－3＋i；③2＋i；④π；⑤－3i；⑥0.

2

1

解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为，是虚数；③的实部为

22，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数.

反思与感悟 复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部. 跟踪训练1 下列命题中，正确命题的个数是( )

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①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1； ②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i； ③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0. A.0 B.1 C.2 D.3 答案 A

解析 ①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题.②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题.③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题.故选A. 题型二 复数的分类

例2 设z＝log1 (m－1)＋ilog2(5－m)(m∈R).

2(1)若z是虚数，求m的取值范围； (2)若z是纯虚数，求m的值.

解 (1)因为z是虚数，故其虚部log2(5－m)≠0， m－1＞0，??

m应满足的条件是?5－m＞0，

??5－m≠1，

解得1＜m＜5，且m≠4.

(2)因为z是纯虚数，故其实部log1(m－1)＝0，虚部log2(5－m)≠0，

2m－1＝1，??

m应满足的条件是?5－m＞0，

??5－m≠1，

解得m＝2.

反思与感悟 将复数化成代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，根据复数的分类：当b＝0时，z为实数；当b≠0时，z为虚数；特别地，当b≠0，a＝0时，z为纯虚数，由此解决有关复数分类的参数求解问题.

跟踪训练2 实数k为何值时，复数z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零.

解 由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i. (1)当k2－5k－6＝0时，z∈R，即k＝6或k＝－1. (2)当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1.

2

??k－3k－4＝0，(3)当?2时，z是纯虚数，解得k＝4.

?k－5k－6≠0?2??k－3k－4＝0，(4)当?2时，z＝0，解得k＝－1.

??k－5k－6＝0

题型三 两个复数相等

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例3 (1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值.

a

(2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值.

2解 (1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，

22????x－y＝0，?x＝1，?x＝－1，∴?解得?或? ?2xy＝2，??y＝－1.??y＝1，?

(2)设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为 a

3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，

2a??3m2－2m－1＝0，

∴? ??10－m－2m2＝0，71解得a＝11或a＝－.

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反思与感悟 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数.

跟踪训练3 已知复数z＝3x－1－x＋(x2－4x＋3)i＞0，求实数x的值. 解 ∵z＞0，∴z∈R，∴x2－4x＋3＝0， 解得x＝1或x＝3.

∵z＞0，∴3x－1－x＞0，且x2－4x＋3＝0.

对于不等式3x－1－x＞0，x＝1满足，x＝3不满足，故x＝1.

1.若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于( ) A.{－1} B.{1} C.{1，－1} D.? 答案 C

解析 因为i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，所以A＝{i，－1，－i,1}，又B＝{1，－1}，故A∩B＝{1，－1}.

2.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( ) A.2，1 B.2，5 C.±2，5 D.±2，1 答案 C

2??a＝2，

解析 令?得a＝±2，b＝5.

?－2＋b＝3，?

3.下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是( )

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