2017年中考数学专题复习讲义（第六章 第二十一讲 与圆有关的位置关系）

第二十二讲 与圆有关的位置关系

【基础知识回顾】

考点七、点和圆的位置关系 （3分）

设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： dr?点P在⊙O外。

考点八、过三点的圆 （3分） 1、过三点的圆

不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、三角形的外接圆

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3、三角形的外心

三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件） 圆内接四边形对角互补。 考点九、反证法 （3分）

先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。 考点十、直线与圆的位置关系 （3~5分）

直线和圆有三种位置关系，具体如下：

（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；

（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线， （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么： 直线l与⊙O相交?dr；

考点十一、切线的判定和性质 （3~8分） 1、切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2、切线的性质定理

圆的切线垂直于经过切点的半径。 考点十二、切线长定理 （3分） 1、切线长

在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。 2、切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

考点十三、三角形的内切圆 （3~8分） 1、三角形的内切圆

与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心

三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 考点十四、圆和圆的位置关系 （3分） 1、圆和圆的位置关系

如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。 如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。 如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。 2、圆心距

两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。 3、圆和圆位置关系的性质与判定

设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么 两圆外离?d>R+r 两圆外切?d=R+r

两圆相交?R-rr） 两圆内含?dr） 4、两圆相切、相交的重要性质

如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 考点一：切线的性质 例1 （2015?义乌）已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，PD交⊙O于点C、D，PE是⊙O的切线，E为切点，连结AE，交CD于点F． （1）若⊙O的半径为8，求CD的长； （2）证明：PE=PF； （3）若PF=13，sinA=5，求EF的长． 13 思路分析：（1）首先连接OD，由直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，⊙O的半径为8，可求得OB的长，又由勾股定理，可求得BD的长，然后由垂径定理，求得CD的长； （2）由PE是⊙O的切线，易证得∠PEF=90°-∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°-∠A，继而可证得∠PEF=∠PFE，根据等角对等边的性质，可得PE=PF； （3）首先过点P作PG⊥EF于点G，易得∠FPG=∠A，即可得FG=PF?sinA=13×又由等腰三角形的性质，求得答案． 解：（1）连接OD， ∵直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，⊙O的半径为8， ∴OB=5=5，131122OA=4，BC=BD=CD，∴在Rt△OBD中，BD=OD?OB=43， 22∴CD=2BD=83； （2）∵PE是⊙O的切线，

∴∠PEO=90°， ∴∠PEF=90°-∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°-∠A， ∵OE=OA， ∴∠A=∠AEO， ∴∠PEF=∠PFE， ∴PE=PF； （2）过点P作PG⊥EF于点G， ∴∠PGF=∠ABF=90°， ∵∠PFG=∠AFB， ∴∠FPG=∠A， ∴FG=PF?sinA=13×5=5， 13∵PE=PF， ∴EF=2FG=10． 点评：此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 对应训练 1．（2015?扬州）如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC． （1）求证：AB=AC； （2）若AD=4，cos∠ABF=4，求DE的长． 5 1．（1）证明：∵BF是⊙O的切线， ∴∠3=∠C， ∵∠ABF=∠ABC， 即∠3=∠2， ∴∠2=∠C， ∴AB=AC； （2）解：如图，连接BD，在Rt△ADB中，∠BAD=90°， ∵cos∠ADB=ADADAD4，∴BD=??=5， BDcos?ADBcos?ABF45∴AB=3． 在Rt△ABE中，∠BAE=90°， ∵cos∠ABE=ABAB315，∴BE=??， BEcos?ABE445

∴AE=(15229)?3?， 4497=． 44∴DE=AD-AE=4-考点二：切线的判定 例2 （2015?自贡）如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=63cm． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π） 思路分析：（1）求出∠COB的度数，求出∠A的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OCA的度数，根据切线的判定推出即可； （2）如解答图所示，解题关键是证明△CDM≌△OBM，从而得到S阴影=S扇形BOC． 解答：如图，连接BC，OD，OC，设OC与BD交于点M． （1）证明： 如图，连接OC、OD， 根据圆周角定理得：∠COB=2∠CDB=2×30°=60°， ∵AC∥BD， ∴∠A=∠OBD=30°， ∴∠OCA=180°-30°-60°=90°， 即OC⊥AC， ∵OC为半径， ∴AC是⊙O的切线； （2）解：由（1）知，AC为⊙O的切线， ∴OC⊥AC． ∵AC∥BD， ∴OC⊥BD． 由垂径定理可知，MD=MB=1BD=33． 2在Rt△OBM中，∠COB=60°，OB=MB33=6． ?cos30o32在△CDM与△OBM中， ??CDM??OBM?30?? ?MD?MB??CMD??OMB?90??∴△CDM≌△OBM ∴S△CDM=S△OBM