2019届河南省郑州市高三第三次质量检测数学(文)试题(解析版)

根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程； （Ⅲ）已知企业年利润z（单位：千万元）与x，y的关系为z?27y?x（其中e，根据（Ⅱ）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一e?2.71828L）年应投入多少研发费用？

附：对于一组数据?u1,?1?,?u2,?2?,L,?un,?n?，其回归直线?????u的斜率和截距的最

??小二乘估计分别为???u?u???ii?1nii?1ni??2??u??nu?iin??u?u??i?1n?ui2?nui?12?u ??????，??【答案】（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型y?c?x更适合；

1（Ⅱ）y?e?x3；

（Ⅲ）要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.

【解析】（Ⅰ）根据散点图的特点可知，相关关系更接近于幂函数类型； （Ⅱ）根据所给数据，代入公式求得回归直线的方程；

（Ⅲ）先求出年利润的表达式，结合不等式特点利用导数可得最值. 【详解】

d（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型y?c?x更适合．

d（Ⅱ）对y?c?x两边取对数，得lny?lnc?dlnx，即v?lnc?du

由表中数据得：u?v?1.5，

??∴d??u?u??v?v??uv?nuviiii2ii?1nn??ui?u?i?1n?2i?1n??ui?1?nu230.5?10?1.5?1.51?，

46.5?10?1.523??1.5??1.5?1,?c?e， ∴lnc?v?du∴年研发费用x与年销售量y的回归方程为y?e?x3. (Ⅲ)由（Ⅱ）知，z(x)?27x?x， ∴z?(x)?9x?3?1，

令z?(x)?9x?3?1?0，得x?27，

且当x?(0,27)时，z?(x)?0,z(x)单调递增；

2213113

当x?(27,??)时，z?(x)?0,z(x)单调递减．

所以当x?27千万元时，年利润z取得最大值，且最大值为z(27)?54千万元. 答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元. 【点睛】

本题主要考查非线性回归方程的求解及决策判断，非线性回归方程一般是转化为线性回归方程求解，侧重考查数学建模和数据分析的核心素养.

219．已知抛物线y??2px?p?0?的焦点为F，x轴上方的点M??2,m?在抛物线上，且

MF?5，直线l与抛物线交于A，B两点（点A，B与M不重合），设直线MA，MB2的斜率分别为k1，k2. （Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）当k1?k2??2时，求证：直线l恒过定点并求出该定点的坐标. 【答案】（Ⅰ）y??2x； （Ⅱ）见解析.

【解析】（Ⅰ）根据MF?25及抛物线定义可求p，从而得到方程； 2（Ⅱ）设出直线方程，与抛物线方程相联立，写出韦达定理，结合k1?k2??2可得k,b关系，从而得到定点坐标. 【详解】

（Ⅰ）由抛物线的定义可以MF?p5?(?2)?， 22?p?1,抛物线的方程为y2??2x.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点M的坐标为(?2,2) 当直线l斜率不存在时，此时A,B重合，舍去. 当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y?kx?b 设A?x1,y1?,B?x2,y2?，将直线l与抛物线联立得：

?y?kx?b22kx?(2kb?2)x?b2?0 ?2?y??2x?2kb?2b2x1?x2?,x1x2?2① 2kk

又k1?k2?y1?2y2?2???2， x1?2x2?2即?kx1?b?2??x2?2???kx2?b?2??x1?2???2?x1?2??x2?2?，

2kx1x2?2k?x1?x2??b?x1?x2??2?x1?x2??4b?8??2x1x2?4?x1?x2??8， (2k+2)x1x2?(2k?b+2)?x1?x2??4b?0，

2将①代入得，b?b?2?2k(b?1)?0

即(b?1)(b?2?2k)?0 得b??1或b?2?2k

当b??1时，直线l为y?kx?1，此时直线恒过(0,?1);

当b?2?2k时，直线l为y?kx?2k?2?k(x?2)?2，此时直线恒过(?2,2)（舍去）

所以直线l恒过定点(0,?1). 【点睛】

本题主要考查抛物线的定义及直线和抛物线的综合问题，直线过定点一般是寻求k,b之间的关系式.侧重考查数学运算的核心素养.

x20．设函数f?x??ae?x，g?x??blnx.

（Ⅰ）设h?x??f?x??g?x?，函数h?x?在1,h?1?处切线方程为y?2x?1，求a，

??b的值；

（Ⅱ）若a?1，k为整数，当x?0时，?x?k?f??x??x?1?0成立，求k的最大值. 【答案】（Ⅰ）a?（Ⅱ）2.

【解析】（Ⅰ）先求h?x?的导数，结合导数的几何意义，可求a,b；

（Ⅱ）分离参数，构造新函数，利用导数求解新函数的最值，可得k的最大值. 【详解】

x（Ⅰ）h(x)?f(x)?g(x)?ae?blnx?x，

2,b?1； eh?(x)?aex??h(1)?ae?1?12b?a?,b?1. ?1，由题意可知?ex?h?(1)?ae?b?1?2

（Ⅱ）当x?0时，(x?k)f?(x)?x?1?0等价于k?x?1?x ex?1exex?x?2x?1 ， ?x ，F?(x)?设F(x)?x2xe?1e?1????令R(x)?ex?x?2,R?(x)?e?1; 当x?0时，R?(x)?0恒成立.

∴R(x)在(0,??)上单调递增 ， 又R(1)0,R(2)0,

∴R(x)在(0,??)上有唯一零点x0，且x0?(1,2)，e0?x0?2?0， ∴F?x?单减区间为(0,x0)，单增区间为(x0,??)， ∴F?x?在(0,??)的最小值为F?x0??xxx0?1?x0?x0?1?(2,3) ex0?1?k?F?x0?,?kmax?2.

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义和利用导数求解函数的最值问题，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养.

?x??2?t,xoy21．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为?（t为参数），曲线

y?1?t?C1:y?1?x2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴立极坐标系，曲线C2的极坐标

方程为??42sin????????. 4?uuuvuuuv （Ⅰ）若直线l与x，y轴的交点分别为A，B，点P在C1上，求BA?BP的取值范围；（Ⅱ）若直线l与C2交于M，N两点，点Q的直角坐标为??2,1?，求QM?QN的值.

【答案】（Ⅰ）[0,2?1]； （Ⅱ）2.

【解析】（Ⅰ）利用参数方程表示出目标式BA?BP，结合三角函数知识求解； （Ⅱ）把直线l的参数方程代入曲线C2，结合参数的几何意义可求. 【详解】

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