2019届河南省郑州市高三第三次质量检测数学(文)试题(解析版)

【解析】根据已知条件可得{nan}为等差数列，借助等差数列的通项公式可得. 【详解】

因为2nan??n?1?an?1??n?1?an?1，所以{nan}为等差数列，公差d?2a2?a1?7，首项为1，所以其通项公式为nan?1?7(n?1)?7n?6，所以a8?【点睛】

本题主要考查等差数列的通项公式，根据递推关系式得出等差数列是求解关键，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养. 15．已知函数f?x???a?5025. ?84??1?2若在区间?1,???上函数f?x?的图象恒在直线?x?lnx，

2?y?2ax的图象的下方，则实数a的取值范围是__________．

【答案】[?11,]. 22122【解析】先把图象位置关系转化为不等关系，即2ax?(a?)x?lnx?0，然后利用导数求解最值可得. 【详解】

设g(x)?2ax?(a?)x?lnx，由题意可知，g(x)?0在区间?1,???上恒成立；

212g?(x)?2a?(2a?1)x?1(x?1)[(1?2a)x?1]?， xx当1?2a?0时，x??1,???，g?(x)?0，所以g(x)为增函数，所以有

g(1)?2a?a?111?0，即?a??； 222 当1?2a?0时，总存在x??x0,???，使得g?(x)?0，即g(x)为减函数，不合题意；综上可得a?[?,]. 【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数图象之间的位置关系，通常是转化为不等关系，求解最值，侧重考查数学建模的核心素养.

三、解答题

1122116．在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AC?4，cos?CAB?.

3点D的线段BC上，且BD?183CD，AD?. 23

（Ⅰ）求AB的长； （Ⅱ）求?ABD的面积. 【答案】（Ⅰ）6. （Ⅱ）

82. 3【解析】（Ⅰ）在?ABC，?ACD,?ABD中分别使用余弦定理可求AB的长； （Ⅱ）先求?ABC的面积，利用?ABD与?ABC面积之间的关系可求 【详解】

（Ⅰ）在?ABC中，由余弦定理得a?c?4?8c?2221 ① 3644a2??16AD2?CD2?AC29?3 又在?ACD中，cos?ADC?2AD?CD323a964a2??c2222AD?BD?AB9cos?ADB??3 在?ABD中，

2BD?AD163a9又?ADB??ADC??

a2?cos?ADB?cos?ADC?0 ,即?c2?24?0②

3联立①②得，c?6 , 即AB?6. （Ⅱ）Qcos?CAB?122 ?sin?CAB?331SVABC??b?c?sin?CAB?82

2182. S?ABD?S?ABC?33【点睛】

本题主要考查利用余弦定理求解三角形的边长及三角形面积，侧重考查数学运算的核心素养.

17．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，FO?平面ABCD，四边形

OAEF为平行四边形.

（Ⅰ）求证：平面DEF?平面BDF；

（Ⅱ）若AB?FO?BD?2，点H在线段BF上，且FH??FB，三棱锥B?AHC的体积等于四棱锥D?AOFE体积的一半，求?的值. 【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）

uuuvuuuv1. 2【解析】（Ⅰ）先证明AO?BD,AO?FO,利用EF//AO得到EF?平面BDF,从而得证结论；

（Ⅱ）利用三棱锥B?AHC的体积等于四棱锥D?AOFE体积的一半，建立等量关系，从而求得?的值. 【详解】

（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AO?BD． ∵FO?平面ABCD，AO?平面ABCD， ∴AO?FO．

又四边形OAEF为平行四边形， ∴EF//AO，

∴EF?BD，EF?FO，

∵BD?FO?O，∴EF?平面BDF． ∵EF?平面DEF， ∴平面DEF?平面BDF．

（Ⅱ）∵AB?FO?BD?2，四边形ABCD为菱形， ∴?ABD为等边三角形，且AO?3，DO?BO?1．

∵BD?AC,BD?FO,AC?FO?O,∴BD?平面OAEF， ∴四棱锥D?AOFE的体积为VD?AOFE?1123． ?SAOFE?DO??(3?2)?1?333∵FO?平面ABCD，点H在线段BF上，且FH??FB， 所以点H到平面ABCD的距离h?(1??)FO?2(1??)． 所以

uuuvuuuv11?123(1??)3?VB?AHC?VH?ABC??SABC?h????2?2?sin120???2(1??)??33?233?

，解得??【点睛】

本题主要考查空间中面面垂直关系的证明及几何体的体积问题，侧重考查直观想象和逻辑推理的核心素养.

18．某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x（单位：千万元）对年销售量y（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用xi与年销售量yi?i?1,2,L,10?的数据，得到散点图如图所示：

1. 2

（Ⅰ）利用散点图判断，y?a?bx和y?c?x（其中c，d为大于0的常数）哪一个

d更适合作为年研发费用x和年销售量y的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；

（Ⅱ）对数据作出如下处理：令ui?lnx，?i?lny，得到相关统计量的值如下表：