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学 海 无 涯

能 力 提 升

一、选择题

1．(2013内蒙古包头一中)已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝( )

A.7 C.13 [答案] C

1

[解析] 易知|a|＝1，|b|＝1，a·b＝2， ∴|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝13， ∴|a＋3b|＝13. 2．(2011～2012·广东佛山高三质检)已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，则向量a、b的夹角为( )

πA.6 πC.3 [答案] B

[解析] 由于2a＋b＝(4,2)， 则b＝(4,2)－2a＝(2,0)， 则a·b＝2，|a|＝2，|b|＝2.

a·b2设向量a，b的夹角为θ，则cosθ＝＝. |a||b|2π

又θ∈[0，π]，所以θ＝4. 3．(2011～2012·重庆南开中学)平面向量a与b的夹角为60°，a

π

B.4 πD.2 B.10 D．4

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＝(2,0)，|b|＝1，则a·b＝( )

1

A.2 3C.2 [答案] B

1

[解析] |a|＝2，a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2×1×2＝1.

4．(2012·全国高考重庆卷)设x、y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( )

A.5 C．25 [答案] B

[解析] 由a⊥c，得2x－4＝0 则x＝2，由b∥c得－4＝2y则y＝－2，

|a＋b|＝

?2＋1?2＋?1－2?2＝10 B.10 D．10 B．1 D.3

[考点定位] 本题主要考查两个向量垂直和平行的坐标表示、模长公式，解决问题的关键在于根据a⊥c，b∥c，得到x，y的值，只要记住两个向量垂直、平行和向量的模的坐标形式的充要条件，就不会出错，注意数字的运算。

5．已知向量a＝(3，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝3，则b等于( )

?31?A.?，?

2??2

?13?

B.?，?

2??2

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?133?

? C.?，44??

D．(1,0)

[答案] B

[解析] 方法1：令b＝(x，y)(y≠0)，则

?x2＋y2＝1， ①?

?3x＋y＝3， ②

将②代入①得x2＋(3－3x)2＝1，即2x2－3x＋1＝0， 13

∴x＝1(舍去，此时y＝0)或x＝2?y＝2.

方法2：排除法，D中y＝0不合题意；C不是单位向量，舍去；代入A，不合题意，故选B.

6．(2011～2012·河北省正定中学模拟)已知向量a＝(2cosθ，

?π?

?2sinθ)，b＝(0，－2)，θ∈2，π?，则向量a、b的夹角为( ) ??

3π

A.2－θ π

C.2＋θ [答案] A [解析]

π

B．θ－2 D．θ

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解法一：由三角函数定义知a的起点在原点时，终点落在圆x2

＋y2＝4位于第二象限的部分上

π

(∵2<θ<π)，设其终点为P，则∠xOP＝θ， 3π

∴a与b的夹角为2－θ.

a·b－4sinθ

解法二：cos〈a，b〉＝＝

|a|·|b|2×2

?3π?

?＝－sinθ＝cos2－θ?， ??

?π??π?3π

???，π，π∵θ∈2，∴2－θ∈2?， ????

3π又〈a，b〉∈(0，π)，∴〈a，b〉＝2－θ. 二、填空题

7．设a＝(1,2)，b＝(1，m)，若a与b的夹角为钝角，则m的取值范围是________．

1??

[答案] ?－∞，－2?

?

?