材料成型计算机模拟（2012版）

2 刚塑性有限元法2.1.3.2 惩罚函数法57利用一个足够大的惩罚因子a=10~10，将体积不变函数引入，构造惩罚函数：?edV???2???e?VSpa2?VpividS???dV2V则有：?edV??pi?vidS?a???V???VdV?0??2???e??VSpV?V静水压力为?m?a?下页上页返回2 刚塑性有限元法2.2 塑性边界条件及其泛函2.2.1 边界条件自由表面：没有与变形工具接触的工件表面，无外力作用，无位移速度约束，即pi?0的应力边界；属于应力边界表面Sp接触表面：在变形过程瞬时，工件与变形工具接触的那部分表面，用Sf表示，法向n，作用力ps?f，法向速度与速度矢量关系为vn?vdn下页上页返回2 刚塑性有限元法2.2.1 边界条件滑动摩擦：

f???pn?—库仑摩擦系数，pn—法向正压应力；粘着摩擦：

f?mkm—摩擦因子，k—材料的剪切屈服极限。0?m?1vv摩擦力（矢量）：f??mkvv当vv=0时（即中性点），近似处理为?2?vrf??mk?arectg??v??0????????下页上页返回2 刚塑性有限元法2.2.1 边界条件?2?vrarectg??v库仑公式近似：f????pn???0????????v0是一个小正数，如10-3~10-4。2.2.3 摩擦功率公式外力功率为法向力pn和切向力ps功率之和，即?p?????pnvn?psvs?dS????Sp?第一项法向速度给定，一阶变分为零，只要考虑第二?v??2项即切向摩擦力的功率：?????dv?dS??mkarctg????v????v?变分???2arctg?????v???vdS??vrrfSp0r0rfSpr0则有??p???f下页上页返回