2020届高考压轴题系列之 解析几何中的定值问题(文) 教师版

压轴题系列 解析几何中的定值问题 精选压轴题

x2y2例1．如图，已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左焦点为F(?1,0)，过点F做x轴的垂线交椭圆于A，

abB两点，且AB?3．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若M，N为椭圆上异于点A的两点，且直线AM，AN的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否为 定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

x2y21??1；【答案】（1）C:（2）直线MN的斜率为定值，其值为?． 432b22b2?3， 【解析】（1）由题意可知c?1，令x??c，代入椭圆可得y??，所以

aa又a?b?1，两式联立解得a?4，b?3，

2222x2y2??1． ∴椭圆C的标准方程为

43（2）由（1）可知，F(?1,0)，代入椭圆可得y??33，所以A(?1,)， 22因为直线AM，AN的倾斜角互补，所以直线AM的斜率与AN的斜率互为相反数，

x2y23??1， 可设直线AM方程为y?k(x?1)?，代入

432得(3?4k)x?4k(3?2k)x?4k?12k?3?0， 设M(xM,yM)，N(xN,yN)，

2224k2?12k?34k2?12k?333x??y?kx?k?因为点A(?1,)在椭圆上，所以?1?xM?，，， MMM3?4k23?4k222又直线AM的斜率与AN的斜率互为相反数，在上式中以?k代替k，

4k2?12k?33y??kx?k?可得xN??，， NN3?4k22所以直线MN的斜率kMN?yM?yNk(xM?xN)?2k1???，

xM?xNxM?xN2即直线MN的斜率为定值，其值为?1． 212例2．已知抛物线C:y?ax(a?0)上一点P(t,)到焦点的距离为2t． （1）求抛物线的方程；

（2）抛物线上一点A的纵坐标为1，过点Q(3,?1)的直线与抛物线交于M，N两个不同的点（均与点A不重合），设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1?k2为定值． 【答案】（1）y?x；（2）证明见解析． 【解析】（1）在抛物线的定义可知PF?t?22a?2t，则a?4t， 4由点P(t,)在抛物线上，则at?121a12，∴a??，则a?1， 4442由a?0，则a?1，∴抛物线的方程y?x．

（2）∵A点在抛物线上，且yA?1，∴xA?1，∴A(1,1)，

设过点Q(3,?1)的直线的方程为x?3?m(y?1)，即x?my?m?3， 代入y?x，得y?my?m?3?0，

设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则y1?y2?m，y1y2??m?3， 所以k1?k2?

22y1?1y2?1y1y2?(y1?y2)?11??2??． x1?1x2?1my1y2?m(m?2)(y1?y2)?(m?2)22模拟精做 x2y261．已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，圆3ab

?:x2?y2?Dx?2?0过椭圆C的三个顶点，过点F2且斜率不为0的直线与椭圆交于P，Q两点．

（1）求椭圆的标准方程；

uuur2uuuruuur（2）证明：在x轴上存在定点A，使得AP?AP?PQ为定值；并求出该定点的坐标． x2y27??1；【答案】（1）（2）证明见解析，定点A(,0)． 623【解析】（1）依题意，不妨设圆?过椭圆的上、下、右三个顶点， 令x?0，解得y??2，故b?又e?2，

c6626?a)，解得a2?6． a，∴a2?b2?c2?(2)2?(，∴c?a333x2y2??1． ∴椭圆的标准方程为62（2）证明：由题意设直线的方程为y?k(x?2)，

?x2y2?1??2222由?6，消去y整理得(1?3k)x?12kx?12k?6?0， 2?y?k(x?2)?12k212k2?6设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则x1?x2?，x1x2?， 221?3k1?3k假设x轴上的定点为A(m,0)，

uuur2uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur则AP?AP?PQ?AP?(AP?PQ)?AP?PQ?(x1?m,y1)?(x2?m,y2)(3m2?12m?10)k2?(m2?6)?(k?1)x1x2?(2k?m)(x1?x2)?(4k?m)?， 21?3k2222要使其为定值，需满足3m?12m?10?3(m?6)，解得m?227． 3故定点A的坐标为(,0)．

2．已知抛物线C:y?mx(m?0)过点(1,?2)，P是C上一点，斜率为?1的直线l交C于不同两点A，

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2，且△PAB的重心的纵坐标为?． B（l不过P点）

3（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标；

（2）记直线PA，PB的斜率为k1，k2，试求证：k1?k2为定值．

【答案】（1）y?4x，(1,0)；（2）证明见解析． 【解析】（1）将(1,?2)代入y?mx，得m?4，

22故抛物线C的方程为y?4x，其焦点坐标为(1,0)．

2（2）直线l的方程为y??x?b，将它代入y?4x，得x?2(b?2)x?b?0，

222由题意得Δ?16(b?1)?0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

2则x1?x2?2(b?2)，x1x2?b，y1?y2??(x1?x2)?2b??2(b?2)?2b??4，

因为△PAB的重心的纵坐标为?2，所以y1?y2?yP??2，所以yP?2，所以xP?1， 3所以k1?k2?y1?2y2?2(y1?2)(x2?1)(y2?2)(x2?1)??， x1?1x2?1(x2?1)(x2?1)又(y1?2)(x2?1)?(y2?2)(x1?1)?[?x1?(b?2)](x2?1)?[?x2?(b?2)](x1?1)

??2x1x2?(b?1)(x1?x2)?2(b?2)??2b2?2(b?1)(b?2)?2(b?2)?0．

所以k1?k2?0．