2020版高考数学大一轮复习-5.1平面向量的概念及线性运算教案(理)(含解析)新人教A版

→BC＝→OC－→OB＝－→OA－→

OB＝－a－b.

3．在平行四边形ABCD中，若|→AB＋→AD|＝|→AB－→

AD|，则四边形ABCD的形状为________．答案 矩形

解析 如图，因为→AB＋→AD＝→

AC，

→AB－→AD＝→DB， 所以|→AC|＝|→DB|.

由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形． 题组三 易错自纠

4．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

5

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件 答案 A

解析 若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.

若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．

5．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________. 1答案 2

解析 ∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数

??λ＝μ，

μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则?

?1＝2μ，?

1

解得λ＝μ＝. 2

12→→→

6．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，

23

λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

1

答案 2

→→→1→2→解析 DE＝DB＋BE＝AB＋BC

231→2→→1→2→

＝AB＋(BA＋AC)＝－AB＋AC， 2363121∴λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝. 632

6

题型一 平面向量的概念1．给出下列命题：

①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；

→→

③若A，B，C，D是不共线的四点，且AB＝DC，则ABCD为平行四边形； ④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；

⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中真命题的序号是________． 答案 ③

解析 ①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；

②错误，若b＝0，则a与c不一定共线；

→→→→→→

③正确，因为AB＝DC，所以|AB|＝|DC|且AB∥DC；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；

④错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；

⑤错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线． 故填③.

2．给出下列四个命题：

①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|，其中正确命题的个数是( ) A．1B．2C．3D．4 答案 A

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解析 只有④正确．

思维升华向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．

(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．

(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．

题型二 平面向量的线性运算

命题点1 向量加、减法的几何意义

例1(2017·全国Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( ) A．a⊥b C．a∥b 答案 A

解析 方法一 ∵|a＋b|＝|a－b|， ∴|a＋b|＝|a－b|.

∴a＋b＋2a·b＝a＋b－2a·b. ∴a·b＝0.∴a⊥b. 故选A.

方法二 利用向量加法的平行四边形法则． →→

在?ABCD中，设AB＝a，AD＝b， →→

由|a＋b|＝|a－b|知，|AC|＝|DB|， 从而四边形ABCD为矩形， 即AB⊥AD，故a⊥b. 故选A.

命题点2 向量的线性运算

例2(1)(2019·包头模拟)在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，→→→

设AB＝a，AD＝b，则向量BF等于( ) 12A.a＋b 3312C．－a＋b

33

2

2

2

2

2

2

B．|a|＝|b| D．|a|>|b|

12B．－a－b

3312D.a－b 33

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