2020版高考数学大一轮复习-5.1平面向量的概念及线性运算教案（理）（含解析）新人教A版

§5.1 平面向量的概念及线性运算

最新考纲 1.了解向量的实际背景． 2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义． 3.理解向量的几何表示． 考情考向分析 主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，常与三角函数、解析几何交汇考查，有4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义． 时也会有创新的新定义问题；题5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义． 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 型以选择题、填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现.

1．向量的有关概念

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名称 向量 零向量 单位向量 平行向量(共线向量) 相等向量 相反向量 2.向量的线性运算

向量运算 定义 定义 具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 长度为0的向量；其方向不确定 长度等于1个单位的向量 备注 平面向量是自由向量 记作0 非零向量a的单位向量为±a |a|共线向量的方向相同或相反 同向且等长的有向线段 长度相等且方向相反的向量 0与任一向量平行或共线 两向量只有相等或不等，不能比较大小 0的相反向量为0 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律：a＋b＝b向量的加法 求两个向量和的运算 ＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 求a与b的相反向向量的减法 量－b的和的运算叫做a与b的差 a－b＝a＋(－b) (1)|λa|＝|λ||a|； 求实数λ与向量(2)当λ>0时，λa的方向与(1)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(2)λ(μa)＝(λμ)a；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb 数乘向量 a的积的运算 a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 3.平行向量基本定理

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如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a＝λb.

概念方法微思考

1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？ 提示 不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa. 2．如何理解数乘向量？

提示 λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量，方向不确定． 3．如何理解平行向量基本定理？

提示 如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.

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题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( √ ) (2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．( √ ) (3)若a∥b，b∥c，则a∥c.( × )

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(4)若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．( √ ) (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( × ) 题组二 教材改编

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2．已知?ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝________，BC＝________.(用a，b表示) 答案 b－a －a－b

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解析 如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，

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