高中数学《合情推理与演绎推理》素材1 苏教版选修2-2

合情推理与演绎推理

归纳推理是从个别事实推演出一般性结论的推理．由于归纳推的特点，导致了归纳推理问题的产生情境也比较特别，很多情况下，归纳推理总是与图形联系在一起．请看：

1．分辨图形出现的归纳推理

例1 定义A?B，B?C，C?D，D?A的运算分别对应下图中的（1）、（2）、（3）、（4）．

那么，上图中（5）、（6）可能是下列______中运算的结果（ ）

（A）B?D，A?D （B）B?D，A?C （C）B?C，A?D （D）C?D，A?D 分析：根据（1）、（2）、（3）、（4）可知：

A对应———；B对应□；C对应|；D对应○． 由此可知选（B）．

点评：善于观察是处理此类问题的重要一环．本题中第一个图是哪两个几何图形构成？第二个图又是哪两个几何图形构成？…．于是，很快便发现A，Ｂ，Ｃ，Ｄ可能对应的图形，从而使问题获解．

2．运动图形出现的归纳推理

例2 如图：一个粒子在第一象限及边界运动，在第一秒内它从原点运动到(0，1)，然后它接着按图示在x轴、y轴的平行方向向右、向上来回运动，且每秒移动一个单位长度，求2020秒时，这个粒子所处的位置；

分析：第一层有(01)，，(11)，，(1，0)三个整点（除原点）共用3秒；第二层有五个整点

(2，，，0)(21)，，，(22)(1，，，2)(02)共用5秒；第三层有七个整点

…，第n层共有2n?1个整点，共用2n?1(0，，3)(13)，，，，，，，，，(23)(33)(32)(31)，，(30)共用7秒，秒；假设第2020秒时粒子运动在第n?1层．那么前n层共用秒数由此得最大n?43，且当n?43时，

[3?(2n?1)]n?2006，

2[3?(2n?1)]n?1935．于是，第2020秒时，粒子在

2第44层，且在第71个出现，根据规律我们知道第44层将从点（44，0）开始，那么（44，0），（44，1），…，（44，43），（44，44），（43，44），（42，44），（41，44），…，（18，44）共71个．因此，第2020秒时，这个粒子所处的位置为（18，44）．

点评：要发现规律，必须认真研究问题的初始阶段，它是“退一步”思考问题策略的具体体现．本题就是通过认真分析前三层才发现规律，并利用规律促使问题获解的．

3．图形游戏出现的归纳推理

例3 用火柴棒按下图的方法搭三角形：

按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______．

分析：第一个图有三根火柴，以后每一个图总比前一个图多一个三角形，其实，就多了

?两根火柴，于是答案为：an?2n?1(n?N)．

点评：善于从游戏中抓住本质是解决问题的关键．本题求火柴棒数与所搭三角形的个数之间的关系，只要细心一点获解就没问题．

4．打印图形出现的归纳推理

例4 一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）

○●○○●○○○●○○○○

若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2020个圆中实心圆的个数为______．

分析：将这些圆分段处理，第一段两个圆、第二段三个圆、第三段四个圆、…，可以看出每一段的最后一个圆都是实心圆，由于本题是求前2020个圆中有多少个实心圆，因此，找到第2020个圆所在的段数很重要．由2?3??62?2?62?61?1952?2006，而22?3?…?63?2?63?62?2015?2006，因此，共有６１个实心圆． 2点评：发现规律是解决此题的关键所在．而“分段”正中下怀，它使规律很清楚的显现出来，让我们操作“轻松”，求解“愉快”． 《推理与证明》中的数学思想方法

数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁，也是解决问题的思维策略，有着广泛的应用．有关《推理与证明》中的问题蕴含着许多数学思想方法，若根据题设特点，灵活地运用相应的数学思想方法，往往能迅速找到解题思路，从而使问题简捷、准确地获解．

一、类比思想

所谓类比思想就是根据两个对象之间一部分属性相同或相似，从而推断出这两个对象之间的另外一些属性也可能相同或相似的一种思维形式．“由特殊到一般”是解决这类问题的思维主线．

例1 在Rt△ABC中，两直角边AC?b，BC?a，斜边AB上的高为h，则

111??2． 22hab该结论的证明很简单．类比它，在立体几何中有何发现？

我们猜想，在立体几何中，也有类似的一个公式：

在三棱锥V?ABC中，若三条侧棱VA、VB、VC两两垂直，且长度分别为a，b，c，顶点V到底面ABC的距离VH?h，则

1111???． h2a2b2c2注意：这只是由类比得到的一个猜想，是否成立还须证明． 证明：如右图，延长AH交BC于D，连结VD，

∵VA?VB，VA?VC， ∴VA?平面VBC，

∴VA?BC，VA?VD．

∵VH?平面ABC，∴VH?BC， ∴BC?平面VAD，∴BC?VD． ∵VB?VC，

111， ??VD2VB2VC2111在Rt△， ??VAD中222VHVAVD1111∴， ???2222VHVAVBVC1111即2?2?2?2． habc∴在Rt△VBC中

结论中的三条侧棱两两垂直，可等价变为三个侧面两两垂直．

点评：在本题求解中，我们根据平面几何中的一个结论，运用类比思想，在四面体中猜想出具有类似数学特点的结论，并用演绎推理的方法给出了简要证明．作为一种创新题型，类比推理已成为近几年高考命题中一道亮丽的风景．

二、转化思想

转化思想就是在解决数学问题时，将有待解决的问题，通过某种转化过程，归结为一个已经解决或比较容易解决的问题，并通过对这一问题的解答返回去求得原问题的解答．分析法是证明命题的一种方法，当问题直接证明思路不明显时，常常考虑运用分析法．而运用分析法解题的关键是将结论适当转化．

xy例2 设实数x，y满足y?x?0，若0?a?1，求证：loga(a?a)≤loga2?21． 8分析：直接证明思路不明显，因此可以先结合条件将结论适当转化．由0?a?1，只需转化为证a?a≥?a．又ax?ay≥2ax?y，因此只需转化为证明x?y≤xy181．再由41y??x2转化为证明x?x2≤．因此运用分析法即可简捷得证．

41xy证明：要证loga(a?a)≤loga2?，

8因为0?a?1，所以只需证a?a≥?a， 又a?a≥2a只需证x?y≤xyx?yxy18，因此只需证ax?y≥a，

①．

14112，即证x?x?≥0 44①式显然成立． 故原不等式成立．

点评：本题在寻找使结论成立的条件①时，是先根据函数的单调性，将对数不等式、指数不等式逐步转化为①式，从而把问题化难为易．

三、正难则反思想

有些问题当从正面求解繁琐或无法求解时，可从其反面进行思考，通过否定结论的反面

来肯定结论正确，这就是正难则反的思想．运用这一数学思想解决问题，往往能收到化难为易、化繁为简的奇效．反证法就是“正难则反”的一种证明方法，它不是直接证明命题结论正确，而是通过证明结论反面不正确来说明结论的正确性．因而对于那些“结论的反面”比结论本身更具体、更明确、更简单的命题，则适宜用反证法来证．

1]，x1?x2，例3 设函数f(x)的定义域是区间[0，且对?x1、x2?[0，1]，f(0)?f(1)，1]，x1?x2，均有f(x2)?f(x1)?1．均有f(x2)?f(x1)?f(1)，求证：对?x1、x2?[0，

分析：若直接证明，需分类讨论，于是考虑使用反证法．

1]，x1?x2，使得f(x2)?f(x1)≥1． 证明：假设x1、x2?[0，不妨设x1?x2，

则1≤f(x2)?f(x1)?[f(x2)?f(0)]?[f(0)?f(x1)]

f(x2)?f(0)?f(0)?f(x1)?2x2?0?21?x1?2x2?2?2x1?2?2(x1?x2)．

所以0?x1?x2?1． 21?1． 2故由条件可得f(x2)?f(x1)?2x2?x1?2x?这与假设矛盾，故原命题成立．

点评：运用反证法证题时，须注意三点：

（1）必须周密考察原结论，防止否定有所遗漏；

（2）推理过程必须完全正确，否则不能肯定非命题是错误的；

（3）在推理过程中，可以使用已知条件，推出的矛盾必须很明确、毫不含糊．

四、归纳递推思想

归纳递推思想就是在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后用数学归纳法予以证明（文科学生不作要求）．这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察———归纳———猜想———证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．

0)，n?N*，其中x1?0，x2?a(a?0)，A3是线段A1A2例4 已知点的序列An(xn，的中点，A4是线段A2A3的中点，L，An是线段An?2An?1的中点，L．

（1）写出xn与xn?1、xn?2之间的关系式(n≥3)；

（2）设an?xn?1?xn，计算a1，a2，a3，由此推测数列?an?的通项公式． 分析：利用递推公式及归纳猜想是解题的关键． 解：（1）当n≥3时，x?xn?1xn?2； 2x2?x111?x2??(x2?x1)??a； 222（2）a1?x2?x1?a；a2?x3?x2?